企業$\mathrm{X}$が$n$個の新製品を同時に開発しており，各新製品の開発に成功する確率は$\displaystyle \frac{1}{9}$である．すべての開発の結果が出た後に企業$\mathrm{X}$が存続できるための必要十分条件は，$n$個のうち$1$個以上の新製品の開発に成功していることである．ただし，各新製品の開発は独立な試行であるとする．企業$\mathrm{X}$が$n$個の新製品すべての開発に失敗する確率を$p_n$，また企業$\mathrm{X}$が存続できる確率を$q_n$とする．以下では，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ．
(1) $p_n,\ q_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(2) $q_n \geqq 0.9$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．
(3) $\displaystyle \frac{k}{1000}<q_{50}<\frac{k+1}{1000}$を満たす自然数$k$を求めよ．