銀行口座（以降，口座）から$\mathrm{IC}$カードに金額を移転し，そのカードを用いて支払いをおこなうものとする．口座からカードに移転した金額を超過してさらに支払う必要が生じた場合，その分は銀行が自動的に立て替えて払うものとする．
このとき，口座からカードに金額を移転することに伴う利子収入の減少分，および銀行からの借入れに伴う利払い，そして口座からカードへの移転に伴う手数料，それらの合計$Z$を最小にする問題を考える．適当な仮定のもと，$Z$は独立変数$x,\ y$の関数として，つぎのように表わされる． \[ Z=\frac{xy^2}{40A}+\frac{A^2-2xyA+x^2y^2}{30xA}+6x \] ただし$(x,\ y)$は座標平面の第$1$象限の点であり，$A$は定数である．
(1) $x$を固定し，$Z$を$y$の関数と考えれば，その最小値は \[ y=\frac{\fbox{$35$}\fbox{$36$}}{\fbox{$37$}\fbox{$38$}} \frac{A}{x} \] のときである．
(2) $Z$に$(1)$の結果を代入し，$Z$を$x$のみの関数とみれば \[ x=\sqrt{\frac{\fbox{$39$}\fbox{$40$}\fbox{$41$}}{\fbox{$42$}\fbox{$43$}\fbox{$44$}}A} \] のとき$Z$は最小になる．
(3) 以上から$Z$の最小値は \[ \sqrt{\frac{\fbox{$45$}\fbox{$46$}\fbox{$47$}}{\fbox{$48$}\fbox{$49$}\fbox{$50$}}A} \] である．