$n$を自然数とする．表と裏が$\displaystyle\frac{1}{2}$の確率で出現するコインを$n$回繰り返し投げる試行をおこなう．各試行に対して$n$個の数$X_1,\ \cdots,\ X_n$をつぎのように定義する． \[ X_i=\left\{ \begin{array}{ll} X_{i-1}+1 & (i \text{回目の結果が表の場合}) \\ X_{i-1}+2 & (i \text{回目の結果が裏の場合}) \end{array} \right. \] ただし$X_0=0$とする．$X_1,\ X_2,\ \cdots,\ X_n$のいずれかが値$k \ \ (1 \leqq k \leqq 2n)$と等しくなる確率を$P(n,\ k)$と記す．例えば，$n=1$ならば$\displaystyle P(1,\ 1)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P(1,\ 2)=\frac{1}{2}$となる．$n=2$ならば$\displaystyle P(2,\ 1)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P(2,\ 4)=\frac{\fbox{$1$}}{\fbox{$2$}}$となる．
$3 \leqq k \leqq n$とする．$X_i=k$となるのは，$X_{i-1}=k-1$で$i$回目の結果が表となるか，あるいは$X_{i-1}=k-2$で$i$回目の結果が裏となるかのいずれかの場合である．したがって \[ P(n,\ k)=\frac{\fbox{$3$}}{\fbox{$4$}}P(n,\ k-1)+\frac{\fbox{$5$}}{\fbox{$6$}}P(n,\ k-2) \quad (3 \leqq k \leqq n) \] が成り立つ．
いまコインを$10$回投げる試行を考える．このとき \[ P(10,\ 2)=\frac{\fbox{$7$}}{\fbox{$8$}},\quad P(10,\ 5)=\frac{\fbox{$9$}\fbox{$10$}}{\fbox{$11$}\fbox{$12$}} \] である．