慶應義塾大学
2015年 経済学部 第3問
3
![実数θは-π/2≦θ≦π/2を満たすとする．O(0,0,0)を原点とする座標空間の3点A(cos^2θ,sinθ,1+sin^2θ),B(sinθ,0,-sinθ),C(1,cos2θ-cos^2θ,1)に対し，それぞれベクトルa=ベクトルOA，ベクトルb=ベクトルOB，ベクトルc=ベクトルOCとおく．(1)ベクトルbは零ベクトルではないとする．4点O，A，B，Cが同一平面上にあるならば，θ=\frac{[27][28]}{[29]}πである．次にθ=π/6とし，以下このときの3点A，B，Cを考える．また，3点O，B，Cの定める平面をαとする．(2)点Pはα上の点で，|ベクトルAP|が最小になるものとする．このとき，ベクトルAP・ベクトルb=[30],ベクトルAP・ベクトルc=[31]が成り立つ．また，ベクトルOPをベクトルb，ベクトルcを用いて表すとベクトルOP=\frac{[32][33]}{[34]}ベクトルb+\frac{[35][36]}{[37][38]}ベクトルcとなる．ただし，ベクトルu,ベクトルvはベクトルベクトルuとベクトルvの内積を表す．(3)三角形OBCの面積は1/8\sqrt{\frac{[39][40]}{[41]}}であり，|ベクトルAP|=\sqrt{\frac{[42]}{[43][44]}}なので，四面体OABCの体積は\frac{[45]}{[46]}となる．](./thumb/202/94/2015_3.png)
3
実数$\theta$は$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$を満たすとする．$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を原点とする座標空間の$3$点
\[ \mathrm{A}(\cos^2 \theta,\ \sin \theta,\ 1+\sin^2 \theta),\quad \mathrm{B}(\sin \theta,\ 0,\ -\sin \theta),\quad \mathrm{C}(1,\ \cos 2\theta-\cos^2 \theta,\ 1) \]
に対し，それぞれ$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．
(1) $\overrightarrow{b}$は零ベクトルではないとする．$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が同一平面上にあるならば，
$\displaystyle \theta=\frac{\fbox{$27$}\fbox{$28$}}{\fbox{$29$}} \pi$である．
次に$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$とし，以下このときの$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を考える．また，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする．
(2) 点$\mathrm{P}$は$\alpha$上の点で，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$が最小になるものとする．このとき， \[ \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{b}=\fbox{$30$},\quad \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{c}=\fbox{$31$} \] が成り立つ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表すと \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{\fbox{$32$}\fbox{$33$}}{\fbox{$34$}} \overrightarrow{b}+\frac{\fbox{$35$}\fbox{$36$}}{\fbox{$37$}\fbox{$38$}} \overrightarrow{c} \] となる．ただし，$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$はベクトル$\overrightarrow{u}$と$\overrightarrow{v}$の内積を表す．
(3) 三角形$\mathrm{OBC}$の面積は$\displaystyle \frac{1}{8} \sqrt{\frac{\fbox{$39$}\fbox{$40$}}{\fbox{$41$}}}$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=\displaystyle \sqrt{\frac{\fbox{$42$}}{\fbox{$43$}\fbox{$44$}}}$なので，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\displaystyle \frac{\fbox{$45$}}{\fbox{$46$}}$となる．
(1) $\overrightarrow{b}$は零ベクトルではないとする．$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が同一平面上にあるならば，
$\displaystyle \theta=\frac{\fbox{$27$}\fbox{$28$}}{\fbox{$29$}} \pi$である．
次に$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$とし，以下このときの$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を考える．また，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする．
(2) 点$\mathrm{P}$は$\alpha$上の点で，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$が最小になるものとする．このとき， \[ \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{b}=\fbox{$30$},\quad \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{c}=\fbox{$31$} \] が成り立つ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表すと \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{\fbox{$32$}\fbox{$33$}}{\fbox{$34$}} \overrightarrow{b}+\frac{\fbox{$35$}\fbox{$36$}}{\fbox{$37$}\fbox{$38$}} \overrightarrow{c} \] となる．ただし，$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$はベクトル$\overrightarrow{u}$と$\overrightarrow{v}$の内積を表す．
(3) 三角形$\mathrm{OBC}$の面積は$\displaystyle \frac{1}{8} \sqrt{\frac{\fbox{$39$}\fbox{$40$}}{\fbox{$41$}}}$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=\displaystyle \sqrt{\frac{\fbox{$42$}}{\fbox{$43$}\fbox{$44$}}}$なので，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\displaystyle \frac{\fbox{$45$}}{\fbox{$46$}}$となる．
つぶやく
コメント（0件）
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。
