慶應義塾大学
2015年 経済学部 第1問
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![cを定数とし，数列{a_n}をa_n=\frac{c+Σ_{k=1}^n2^k}{2^n}(n=1,2,3,・・・)で定める．(1)数列{a_n}は漸化式a_{n+1}=[1]+\frac{a_n}{[2]}(n=1,2,3,・・・)を満たす．(2)a_nをnの式で表すとa_n=2-\frac{[3]-c}{2^n}(n=1,2,3,・・・)となる．ゆえに，c=[4]のとき数列{a_n}は公比1の等比数列になる．(3)c=1とする．a_nが1.99を超えない最大のnは[5]である．(4)c=-38とする．自然数Nに対して，Σ_{n=1}^Na_nの値はN=[6]のとき最小値\frac{[7][8][9]}{[10]}をとる．](./thumb/202/94/2015_1.png)
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$c$を定数とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{c+\sum_{k=1}^n 2^k}{2^n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．
(1) 数列$\{a_n\}$は漸化式 \[ a_{n+1}=\fbox{$1$}+\frac{a_n}{\fbox{$2$}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] を満たす．
(2) $a_n$を$n$の式で表すと \[ a_n=2-\frac{\fbox{$3$}-c}{2^n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] となる．ゆえに，$c=\fbox{$4$}$のとき数列$\{a_n\}$は公比$1$の等比数列になる．
(3) $c=1$とする．$a_n$が$1.99$を超えない最大の$n$は$\fbox{$5$}$である．
(4) $c=-38$とする．自然数$N$に対して，$\displaystyle \sum_{n=1}^N a_n$の値は$N=\fbox{$6$}$のとき最小値$\displaystyle \frac{\fbox{$7$}\fbox{$8$}\fbox{$9$}}{\fbox{$10$}}$をとる．
(1) 数列$\{a_n\}$は漸化式 \[ a_{n+1}=\fbox{$1$}+\frac{a_n}{\fbox{$2$}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] を満たす．
(2) $a_n$を$n$の式で表すと \[ a_n=2-\frac{\fbox{$3$}-c}{2^n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] となる．ゆえに，$c=\fbox{$4$}$のとき数列$\{a_n\}$は公比$1$の等比数列になる．
(3) $c=1$とする．$a_n$が$1.99$を超えない最大の$n$は$\fbox{$5$}$である．
(4) $c=-38$とする．自然数$N$に対して，$\displaystyle \sum_{n=1}^N a_n$の値は$N=\fbox{$6$}$のとき最小値$\displaystyle \frac{\fbox{$7$}\fbox{$8$}\fbox{$9$}}{\fbox{$10$}}$をとる．
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