$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 0)$がある．
(1) $\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{$1$}\fbox{$2$}}}{\fbox{$3$}}$である．
(2) 点$\mathrm{C}$の位置を，位置ベクトル \[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \] によって定める．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の比は \[ \frac{\triangle \mathrm{ABC}}{\triangle \mathrm{OAB}}=\frac{\fbox{$4$}}{\fbox{$5$}} \] である．
(3) $2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の両方に垂直な単位ベクトルのうちの$1$つは， \[ \frac{\sqrt{\fbox{$6$}\fbox{$7$}}}{21} \left( \fbox{$8$},\ -\fbox{$9$},\ 1 \right) \] である．
(4) $t$を実数として，点$\displaystyle \mathrm{D} \left( \frac{t^2}{4},\ 4t,\ 19 \right)$を定める．このとき，四面体$\mathrm{ABCD}$の体積$V(t)$は \[ V(t)=\frac{\fbox{$10$}}{\fbox{$11$}\fbox{$12$}} \left( t^2-\fbox{$13$}t+\fbox{$14$}\fbox{$15$} \right) \] である．
(5) 数列$\{a_n\}$を次のように定める． \[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+\frac{n+1}{10} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] このとき，$V(a_n)$は，$n=\fbox{$16$}$で最小となる．