ある村では公共サービス$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$を提供している．提供された$\mathrm{X}$の量を$x$，$\mathrm{Y}$の量を$y$で表わす．技術的条件や予算の制約によって$(x,\ y)$が実現するのは$x,\ y$がつぎの不等式をみたすときである． \[ \begin{array}{l} x+y \leqq 200 \\ x+5y \leqq 790 \phantom{\frac{\fbox{}}{2}} \\ 3x+4y \leqq 720 \phantom{\frac{\fbox{}}{2}} \\ x,\ y \geqq 0 \phantom{\frac{\fbox{}}{2}} \end{array} \] $(x,\ y)$が実現する領域は$5$角形であり，その$5$頂点は$(0,\ 0)$，$(200,\ 0)$，$(0,\ 158)$および$\mathrm{A}(\fbox{$53$}\fbox{$54$}\fbox{$55$},\ \fbox{$56$}\fbox{$57$}\fbox{$58$})$，$\mathrm{B}(80,\ \fbox{$59$}\fbox{$60$}\fbox{$61$})$である．
現在，一般の村民は$xy$が最大になることを望んでおり，一方，村の有力者一族は$x+10y$が最大になることを望んでいる．村長は$x$と$y$を自由に選ぶことができるが，両方の意向を尊重して \[ \alpha xy+(1-\alpha)(x+10y) \quad (0<\alpha<1) \] を最大化する方針をとった．
仮に，$\displaystyle \alpha=\frac{1}{3}$ならば村長の選択は$(x,\ y)=(\fbox{$62$}\fbox{$63$},\ \fbox{$64$}\fbox{$65$}\fbox{$66$})$となる．
村長は最大化のために選択すべき点を線分$\mathrm{AB}$上にとることにした．しかし，予算上端点$\mathrm{A}$も$\mathrm{B}$も選択することが認められないことがわかった．すると，$\alpha$は \[ \frac{\fbox{$67$}\fbox{$68$}}{\fbox{$69$}\fbox{$70$}\fbox{$71$}}<\alpha<\frac{\fbox{$72$}\fbox{$73$}}{133} \] の範囲に限定される．