道路によって$4$つの区画に区分されている次ページの地形の町を考える．図の各線分は道路を表す．各区画は道路に囲まれた辺の長さが$1 \, \mathrm{km}$の正方形である．$\mathrm{K}$さんは$(0,\ 0)$から，$\mathrm{O}$さんは$(2,\ 2)$からそれぞれ出発して，道路を移動する．$\mathrm{K}$さんも$\mathrm{O}$さんも$1 \, \mathrm{km}$移動するには$\displaystyle \frac{1}{4}$時間かかる．$\mathrm{K}$さんと$\mathrm{O}$さんは，同時に出発し，初めて出会った地点で移動を停止する．ただし，$\mathrm{K}$さんと$\mathrm{O}$さんはつぎのルールにしたがって移動する． \begin{itemize}
$\mathrm{K}$さんの移動ルール： \\ $\mathrm{K}$さんは$(0,\ 0)$から出発し$(2,\ 2)$に向かって北または東に移動する（両方向に移動できる場合，いずれかの方向を$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で選択する）．$\mathrm{O}$さんに出会う前に$(2,\ 2)$に到達したら，$(2,\ 2)$から再出発し$(0,\ 0)$に向かって南または西に移動する．これを$\mathrm{O}$さんに出会うまで繰り返す．
$\mathrm{O}$さんの移動ルール： \\ $\mathrm{O}$さんは$(2,\ 2)$から出発し$(0,\ 0)$に向かって南または西に移動する（両方向に移動 できる場合，いずれかの方向を$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で選択する）．$\mathrm{K}$さんに出会う前に$(0,\ 0)$に到達したら，$(0,\ 0)$から再出発し$(2,\ 2)$に向かって北または東に移動する．これを$\mathrm{K}$さんに出会うまで繰り返す． \end{itemize}
(1) 出発して$t$時間後の時点を時刻$t$とよぶ．$\mathrm{K}$さんと$\mathrm{O}$さんが時刻$\displaystyle \frac{1}{2}$に出会うことができる地点は，$(0,\ 2)$，$(2,\ 0)$，$(1,\ 1)$であり，それらの地点で初めて出会う確率は順に \[ \frac{\fbox{$29$}}{\fbox{$30$}\fbox{$31$}},\quad \frac{\fbox{$32$}}{\fbox{$33$}\fbox{$34$}},\quad \frac{\fbox{$35$}}{\fbox{$36$}\fbox{$37$}} \] である．
(2) $\mathrm{K}$さんと$\mathrm{O}$さんが出会うことができる時刻は$\displaystyle \frac{1}{2},\ \frac{3}{2},\ \frac{5}{2},\ \cdots$であり，それらの時刻で初めて出会う確率は，順に \[ \frac{3}{8},\quad \frac{\fbox{$38$}\fbox{$39$}}{64},\quad \frac{\fbox{$40$}\fbox{$41$}}{\fbox{$42$}\fbox{$43$}\fbox{$44$}},\quad \cdots \] である．
(3) 時刻$2$までに出会えない場合，出会うことをあきらめ，両者とも時刻$2$で移動を停止するとしよう．このとき，両者が移動を停止するまでにかかる時間の期待値は \[ \frac{\fbox{$45$}\fbox{$46$}\fbox{$47$}}{\fbox{$48$}\fbox{$49$}\fbox{$50$}} \] となる．
(4) 時刻$2$を過ぎてもあきらめずに移動し続けるとしよう．時刻$12$まで移動を続けても，両者が出会えない確率は \[ \left( \frac{\fbox{$51$}}{\fbox{$52$}} \right)^{12} \] となる．