慶應義塾大学
2015年 総合政策学部 第2問
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![下図のように，ともに1辺の長さが1の正方形と正三角形がある．正三角形は第1象限と第2象限にあり，底辺はx軸上にある．底辺の中点を(a,0)とする．正方形と正三角形の共通部分の面積をS(a)とするとS(a)=\raisebox{-9.5mm}[1mm][1mm]{\scalebox{1.2}[7.5]{\Biggl{}}\begin{array}{lll}0&&a＜-1/2\\frac{\sqrt{[15]}}{[16]}(a+\frac{[17]}{[18]})^2&&-1/2≦a＜[19]\phantom{\frac{\frac{[]}{2}}{2}}\\frac{\sqrt{[20]}}{[21]}-\frac{√3}{2}(a-\frac{[22]}{[23]})^2&&[21]≦a＜[24]\phantom{\frac{\frac{[]}{2}}{2}}\\frac{√3}{2}(a+\frac{[17]}{[18]})^2&&[24]≦a＜3/2\phantom{\frac{\frac{[]}{2}}{2}}\0&&a≧3/2\phantom{\frac{\frac{[]}{2}}{2}}\end{array}であり∫_{-1}^1S(a)da=\frac{\sqrt{[27]}}{[28]}である．](./thumb/202/92/2015_2.png)
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下図のように，ともに$1$辺の長さが$1$の正方形と正三角形がある．正三角形は第$1$象限と第$2$象限にあり，底辺は$x$軸上にある．底辺の中点を$(a,\ 0)$とする．
正方形と正三角形の共通部分の面積を$S(a)$とすると
\[ S(a)=\ \raisebox{-9.5mm}[1mm][1mm]{\scalebox{1.2}[7.5]{$\Biggl\{$}} \ \begin{array}{lll}
0 & & a<-\displaystyle\frac{1}{2} \\
\frac{\sqrt{\fbox{$15$}}}{\fbox{$16$}} \left( a+\frac{\fbox{$17$}}{\fbox{$18$}} \right)^2 & & -\displaystyle\frac{1}{2} \leqq a<\fbox{$19$} \phantom{\displaystyle\frac{\frac{\fbox{}}{2}}{2}} \\
\displaystyle\frac{\sqrt{\fbox{$20$}}}{\fbox{$21$}}-\frac{\sqrt{3}}{2} \left( a-\frac{\fbox{$22$}}{\fbox{$23$}} \right)^2 & & \fbox{$21$} \leqq a < \fbox{$24$} \phantom{\displaystyle\frac{\frac{\fbox{}}{2}}{2}} \\
\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \left( a+\frac{\fbox{$17$}}{\fbox{$18$}} \right)^2 & & \fbox{$24$} \leqq a<\displaystyle\frac{3}{2}\phantom{\displaystyle\frac{\frac{\fbox{}}{2}}{2}} \\
0 & & a \geqq \displaystyle\frac{3}{2}\phantom{\displaystyle\frac{\frac{\fbox{}}{2}}{2}}
\end{array} \]
であり
\[ \int_{-1}^1 S(a) \, da=\frac{\sqrt{\fbox{$27$}}}{\fbox{$28$}} \]
である．
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