慶應義塾大学
2015年 総合政策学部 第1問
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![次の問いに答えよ．(1)AB=3，BC=4，CD=5，DA=6をみたす四角形ABCDを考える．この四角形の面積をFとするとF=[1][2]sinB+[3][4]sinDが成り立つ．余弦定理を用いればF^2=[5][6][7]-[8][9][10]cos(B+D)を得る．B+D=πのとき，Fは最大値6\sqrt{[11][12]}をとる．(2)辺の長さが2√3の正四面体Fがある．Fの内部に中心をもち，Fのどの辺とも高々1点を共有する球を考える．これらの球の中で最大のものをBとすれば，Bの体積は[13]\sqrt{[14]}πである．](./thumb/202/92/2015_1.png)
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次の問いに答えよ．
(1) $\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CD}=5$，$\mathrm{DA}=6$をみたす四角形$\mathrm{ABCD}$を考える．この四角形の面積を$F$とすると \[ F=\fbox{$1$}\fbox{$2$} \sin B+\fbox{$3$}\fbox{$4$} \sin D \] が成り立つ．余弦定理を用いれば \[ F^2=\fbox{$5$}\fbox{$6$}\fbox{$7$}-\fbox{$8$}\fbox{$9$}\fbox{$10$} \cos (B+D) \] を得る．$B+D=\pi$のとき，$F$は最大値 \[ 6 \sqrt{\fbox{$11$}\fbox{$12$}} \] をとる．
(2) 辺の長さが$2 \sqrt{3}$の正四面体$F$がある．$F$の内部に中心をもち，$F$のどの辺とも高々$1$点を共有する球を考える．これらの球の中で最大のものを$B$とすれば，$B$の体積は$\fbox{$13$} \sqrt{\fbox{$14$}}\pi$である．
(1) $\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{CD}=5$，$\mathrm{DA}=6$をみたす四角形$\mathrm{ABCD}$を考える．この四角形の面積を$F$とすると \[ F=\fbox{$1$}\fbox{$2$} \sin B+\fbox{$3$}\fbox{$4$} \sin D \] が成り立つ．余弦定理を用いれば \[ F^2=\fbox{$5$}\fbox{$6$}\fbox{$7$}-\fbox{$8$}\fbox{$9$}\fbox{$10$} \cos (B+D) \] を得る．$B+D=\pi$のとき，$F$は最大値 \[ 6 \sqrt{\fbox{$11$}\fbox{$12$}} \] をとる．
(2) 辺の長さが$2 \sqrt{3}$の正四面体$F$がある．$F$の内部に中心をもち，$F$のどの辺とも高々$1$点を共有する球を考える．これらの球の中で最大のものを$B$とすれば，$B$の体積は$\fbox{$13$} \sqrt{\fbox{$14$}}\pi$である．
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