ボタンを$1$回押すたびに$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$のいずれかの数字が$1$つ画面に表示される機械がある．このうちの$1$つの数字$Q$が表示される確率は$\displaystyle \frac{1}{k}$であり，$Q$以外の数字が表示される確率はいずれも等しいとする．ただし，$k$は$k>6$を満たす自然数とする．
ボタンを$1$回押して表示された数字を確認する試行を繰り返すとき，$1$回目に$4$の数字，$2$回目に$5$の数字が表示される確率は，$1$回目に$5$の数字，$2$回目に$6$の数字が表示される確率の$\displaystyle \frac{8}{5}$倍である．このとき，
(1) $Q$は$\fbox{$59$}$であり，$k$は$\fbox{$60$}$である．
(2) この試行を$3$回繰り返すとき，表示された$3$つの数字の和が$16$となる確率は \[ \frac{\fbox{$61$}\fbox{$62$}\fbox{$63$}}{\kakkofour{$64$}{$65$}{$66$}{$67$}} \] である．
(3) この試行を$500$回繰り返すとき，そのうち$Q$の数字が$n$回表示される確率を$P_n$とおくと，$P_n$の値が最も大きくなる$n$の値は$\fbox{$68$}\fbox{$69$}$である．