$xy$平面上に放物線$\displaystyle P:y=\frac{1}{4}x^2$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}(a^2-1)$がある．ただし，$a$は$0<a<\sqrt{33}$を満たす実数である．$P$と$\ell$は異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$x_A$，$x_B$とおくと，$x_A<x_B$である．
次に，線分$\mathrm{AB}$を$1$辺とし，線分$\mathrm{CD}$が$(0,\ 8)$を通る長方形$\mathrm{ABDC}$をおく．長方形$\mathrm{ABDC}$の面積を$S(a)$とする．このとき，
(1) $2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を結ぶ直線の傾きは$\displaystyle \frac{\fbox{$40$}}{\fbox{$41$}}$であり，線分$\mathrm{AB}$の長さを$a$を用いて表すと$\sqrt{\fbox{$42$}}a$である．
(2) $S(a)$を$a$の式で表すと \[ S(a)=\frac{\fbox{$43$}\fbox{$44$}}{\fbox{$45$}}a^3+\frac{\fbox{$46$}\fbox{$47$}}{\fbox{$48$}}a \] である．
また，$S(a)$が最大値をとるとき，$a$の値は$\sqrt{\fbox{$49$}\fbox{$50$}}$である．
(3) 放物線$P$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積が，$S(a)$の$3$倍であるとき，$a$の値は$\fbox{$51$} \sqrt{\fbox{$52$}}$である．