慶應義塾大学
2015年 薬学部 第1問
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![次の問いに答えよ．(1)次の問いに答えよ．(i)f(x,y)=2x^2+11xy+12y^2-5y-2を因数分解すると，(x+[1]y+[2])([3]x+[4]y-[5])である．(ii)f(x,y)=56を満たす自然数x,yの値は，x=[6]，y=[7]である．(2)xy平面上の2直線y=x+4sinθ+1，y=-x+4cosθ-3の交点をPとおく．ただし，θは実数とする．(i)θ=π/12のとき，点Pの座標は(\sqrt{[8]}-[9],\sqrt{[10]}-[11])である．(ii)θが実数全体を動くとき，点Pの軌跡はx^2+y^2+[12]x+[13]y-[14]=0である．(3)2次関数f(x)は，すべての実数xについて∫_0^xf(t)dt=xf(x)-4/3x^3+ax^2を満たす．ただし，aは実数である．また，f(0)=a^2-a-6である．このとき，(i)f(x)=[15]x^2-[16]ax+(a+[17])(a-[18])である．(ii)方程式f(x)=0が少なくとも1つの正の実数解をもつようなaの値の範囲は[19][20]＜a≦[21]+\sqrt{[22][23]}である．(4){a_n}は，数字の1と2だけで作ることのできる自然数を小さい順に並べた数列である．{a_n}:1,2,11,12,21,22,111,・・・このとき，(i)a_{10}=[24][25][26]，a_{15}=\kakkofour{27}{28}{29}{30}である．(ii)Σ_{k=7}^{14}a_k=\kakkofour{31}{32}{33}{34}である．(iii){a_n}のうち，m桁である項の総和は\frac{{[35]}^{m-1}{([36][37])^m-[38]}}{[39]}である．](./thumb/202/97/2015_1.png)
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次の問いに答えよ．
(1) 次の問いに答えよ．
(ⅰ) $f(x,\ y)=2x^2+11xy+12y^2-5y-2$を因数分解すると， \[ \left(x+\fbox{$1$}y+\fbox{$2$} \right) \left(\fbox{$3$}x+\fbox{$4$}y-\fbox{$5$} \right) \] である．
(ⅱ) $f(x,\ y)=56$を満たす自然数$x,\ y$の値は，$x=\fbox{$6$}$，$y=\fbox{$7$}$である．
(2) $xy$平面上の$2$直線$y=x+4 \sin \theta+1$，$y=-x+4 \cos \theta-3$の交点を$\mathrm{P}$とおく．ただし，$\theta$は実数とする．
(ⅰ) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{12}$のとき，点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \sqrt{\fbox{$8$}}-\fbox{$9$},\ \sqrt{\fbox{$10$}}-\fbox{$11$} \right)$である．
(ⅱ) $\theta$が実数全体を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は \[ x^2+y^2+\fbox{$12$}x+\fbox{$13$}y-\fbox{$14$}=0 \] である．
(3) $2$次関数$f(x)$は，すべての実数$x$について \[ \int_0^x f(t) \, dt=xf(x)-\frac{4}{3}x^3+ax^2 \] を満たす．ただし，$a$は実数である．また，$f(0)=a^2-a-6$である．このとき，
(ⅰ) $f(x)=\fbox{$15$}x^2-\fbox{$16$}ax+\left( a+\fbox{$17$} \right) \left( a-\fbox{$18$} \right)$である．
(ⅱ) 方程式$f(x)=0$が少なくとも$1$つの正の実数解をもつような$a$の値の範囲は \[ \fbox{$19$}\fbox{$20$}<a \leqq \fbox{$21$}+\sqrt{\fbox{$22$}\fbox{$23$}} \] である．
(4) $\{a_n\}$は，数字の$1$と$2$だけで作ることのできる自然数を小さい順に並べた数列である． \[ \{a_n\} : \ 1,\ 2,\ 11,\ 12,\ 21,\ 22,\ 111,\ \cdots \] このとき，
(ⅰ) $a_{10}=\fbox{$24$}\fbox{$25$}\fbox{$26$}$，$a_{15}=\kakkofour{$27$}{$28$}{$29$}{$30$}$である．
(ⅱ) $\displaystyle \sum_{k=7}^{14} a_k=\kakkofour{$31$}{$32$}{$33$}{$34$}$である．
(ⅲ) $\{a_n\}$のうち，$m$桁である項の総和は$\displaystyle \frac{{\fbox{$35$}}^{m-1} \left\{ \left(\fbox{$36$}\fbox{$37$} \right)^m-\fbox{$38$} \right\}}{\fbox{$39$}}$である．
(1) 次の問いに答えよ．
(ⅰ) $f(x,\ y)=2x^2+11xy+12y^2-5y-2$を因数分解すると， \[ \left(x+\fbox{$1$}y+\fbox{$2$} \right) \left(\fbox{$3$}x+\fbox{$4$}y-\fbox{$5$} \right) \] である．
(ⅱ) $f(x,\ y)=56$を満たす自然数$x,\ y$の値は，$x=\fbox{$6$}$，$y=\fbox{$7$}$である．
(2) $xy$平面上の$2$直線$y=x+4 \sin \theta+1$，$y=-x+4 \cos \theta-3$の交点を$\mathrm{P}$とおく．ただし，$\theta$は実数とする．
(ⅰ) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{12}$のとき，点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \sqrt{\fbox{$8$}}-\fbox{$9$},\ \sqrt{\fbox{$10$}}-\fbox{$11$} \right)$である．
(ⅱ) $\theta$が実数全体を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は \[ x^2+y^2+\fbox{$12$}x+\fbox{$13$}y-\fbox{$14$}=0 \] である．
(3) $2$次関数$f(x)$は，すべての実数$x$について \[ \int_0^x f(t) \, dt=xf(x)-\frac{4}{3}x^3+ax^2 \] を満たす．ただし，$a$は実数である．また，$f(0)=a^2-a-6$である．このとき，
(ⅰ) $f(x)=\fbox{$15$}x^2-\fbox{$16$}ax+\left( a+\fbox{$17$} \right) \left( a-\fbox{$18$} \right)$である．
(ⅱ) 方程式$f(x)=0$が少なくとも$1$つの正の実数解をもつような$a$の値の範囲は \[ \fbox{$19$}\fbox{$20$}<a \leqq \fbox{$21$}+\sqrt{\fbox{$22$}\fbox{$23$}} \] である．
(4) $\{a_n\}$は，数字の$1$と$2$だけで作ることのできる自然数を小さい順に並べた数列である． \[ \{a_n\} : \ 1,\ 2,\ 11,\ 12,\ 21,\ 22,\ 111,\ \cdots \] このとき，
(ⅰ) $a_{10}=\fbox{$24$}\fbox{$25$}\fbox{$26$}$，$a_{15}=\kakkofour{$27$}{$28$}{$29$}{$30$}$である．
(ⅱ) $\displaystyle \sum_{k=7}^{14} a_k=\kakkofour{$31$}{$32$}{$33$}{$34$}$である．
(ⅲ) $\{a_n\}$のうち，$m$桁である項の総和は$\displaystyle \frac{{\fbox{$35$}}^{m-1} \left\{ \left(\fbox{$36$}\fbox{$37$} \right)^m-\fbox{$38$} \right\}}{\fbox{$39$}}$である．
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コメント（2件）
2015-08-22 05:23:33
作りました。 |
2015-08-21 08:26:28
解答が知りたいです。お願いします。 |
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