慶應義塾大学
2012年 薬学部 第1問
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![次の問の[1]～[39]に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（-）をマークしなさい．(1)(ax+\frac{2}{a^2x})^{10}を展開したところ，x^2の項の係数は560であった．ただしa＞0とする．このとき，aの値は\sqrt{[1]}であり，x^{-6}の項の係数は\frac{[2][3]}{[4][5][6]}である．(2)関数f(x)=log_axがあり，以下に示す①と②は共通の解をもつ．{\begin{array}{lr}f(x)+f(x-3)=4&・・・・・・①\f(3x^2-16x+20)-f(x-2)=2&・・・・・・②\end{array}.(i)f(2\sqrt[4]{6})-f(\sqrt[8]{6\sqrt{72}})の値は\frac{[7][8]}{[9]}である．(ii)y=f(x)上の点Pと点A(-4,8)を結んだ線分APを1:3に内分する点の軌跡は，底をa^4とする対数関数y=log_{a^4}xのグラフをx軸正方向に[10][11]，y軸正方向に[12]平行移動したグラフとなる．(3)三角形ABCにおいて，3辺の長さはAB=2a+1，BC=2a，CA=aであり，cos∠BAC=11/24である．ただしa＞0とする．(i)内積ベクトルAB・ベクトルACは\frac{[13][14]}{[15]}である．(ii)辺ABを1:3に内分する点をQ，辺CAの垂直二等分線と線分CQ，辺CAとの交点をそれぞれP，Rとおく．このときベクトルAPをベクトルABとベクトルACを用いて表すと，ベクトルAP=\frac{[16][17]}{[18][19]}ベクトルAB+\frac{[20][21]}{[22][23]}ベクトルACである．(4)下図のように，4行4列の計16個のマス目をつくり，さらに太線でそれぞれ2行2列からなる4つの区画に分ける．それぞれのマス目に1から4までの数字を1つずつ書き込む．ただし，以下の3つの条件を全て満たすものとする．\mon[①]各行には1,2,3,4が1回ずつあらわれる．\mon[②]各列には1,2,3,4が1回ずつあらわれる．\mon[③]各区画には1,2,3,4が1回ずつあらわれる．数字の書き込み方は全部で[24][25][26]通りある．(5)関数f(x)=-2/3(8^x+8^{-x})+10(4^x+4^{-x})-24(2^{x+1}+2^{-x+1})+84がある．(i)2^x+2^{-x}=5のときf(x)の値は\frac{[27]}{[28]}である．(ii)2^x+2^{-x}=tとおいたとき，f(t)=kの解tがただ1つであるような定数kの値の範囲は\frac{[29]+[30]\sqrt{[31]}}{[32]}＜k≦\frac{[33][34]}{[35]},k＜\frac{[36]-[37]\sqrt{[38]}}{[39]}である．](./thumb/202/97/2012_1.png)
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次の問の$\fbox{$1$}$～$\fbox{$39$}$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．
(1) $\displaystyle \left( ax+\frac{2}{a^2x} \right)^{10}$を展開したところ，$x^2$の項の係数は$560$であった．ただし$a>0$とする．このとき，$a$の値は$\sqrt{\fbox{$1$}}$であり，$x^{-6}$の項の係数は$\displaystyle \frac{\fbox{$2$}\fbox{$3$}}{\fbox{$4$}\fbox{$5$}\fbox{$6$}}$である．
(2) 関数$f(x)=\log_a x$があり，以下に示す$\maruichi$と$\maruni$は共通の解をもつ． \[ \left\{ \begin{array}{lr} f(x)+f(x-3)=4 & \cdots\cdots\maruichi \\ f(3x^2-16x+20)-f(x-2)=2 & \cdots\cdots\maruni \end{array} \right. \]
(ⅰ) $f(2 \sqrt[4]{6})-f(\sqrt[8]{6 \sqrt{72}})$の値は$\displaystyle \frac{\fbox{$7$}\fbox{$8$}}{\fbox{$9$}}$である．
(ⅱ) $y=f(x)$上の点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{A}(-4,\ 8)$を結んだ線分$\mathrm{AP}$を$1:3$に内分する点の軌跡は，底を$a^4$とする対数関数$y=\log_{a^4} x$のグラフを$x$軸正方向に$\fbox{$10$}\fbox{$11$}$，$y$軸正方向に$\fbox{$12$}$平行移動したグラフとなる．
(3) 三角形$\mathrm{ABC}$において，$3$辺の長さは$\mathrm{AB}=2a+1$，$\mathrm{BC}=2a$，$\mathrm{CA}=a$であり，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{11}{24}$である．ただし$a>0$とする．
(ⅰ) 内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$\displaystyle \frac{\fbox{$13$}\fbox{$14$}}{\fbox{$15$}}$である．
(ⅱ) 辺$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{CA}$の垂直二等分線と線分$\mathrm{CQ}$，辺$\mathrm{CA}$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$とおく．このとき$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表すと， \[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{\fbox{$16$}\fbox{$17$}}{\fbox{$18$}\fbox{$19$}} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\fbox{$20$}\fbox{$21$}}{\fbox{$22$}\fbox{$23$}} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \] である．
(4) 下図のように，$4$行$4$列の計$16$個のマス目をつくり，さらに太線でそれぞれ$2$行$2$列からなる$4$つの区画に分ける．それぞれのマス目に$1$から$4$までの数字を$1$つずつ書き込む．ただし，以下の$3$つの条件を全て満たすものとする．
[$\maruichi$] 各行には$1,\ 2,\ 3,\ 4$が$1$回ずつあらわれる． [$\maruni$] 各列には$1,\ 2,\ 3,\ 4$が$1$回ずつあらわれる． [$\marusan$] 各区画には$1,\ 2,\ 3,\ 4$が$1$回ずつあらわれる．
数字の書き込み方は全部で$\fbox{$24$}\fbox{$25$}\fbox{$26$}$通りある．
(5) 関数$\displaystyle f(x)=-\frac{2}{3}(8^x+8^{-x})+10(4^x+4^{-x})-24(2^{x+1}+2^{-x+1})+84$がある．
(ⅰ) $2^x+2^{-x}=5$のとき$f(x)$の値は$\displaystyle \frac{\fbox{$27$}}{\fbox{$28$}}$である．
(ⅱ) $2^x+2^{-x}=t$とおいたとき，$f(t)=k$の解$t$がただ$1$つであるような定数$k$の値の範囲は \[ \frac{\fbox{$29$}+\fbox{$30$} \sqrt{\fbox{$31$}}}{\fbox{$32$}}<k \leqq \frac{\fbox{$33$}\fbox{$34$}}{\fbox{$35$}},\ \ k<\frac{\fbox{$36$}-\fbox{$37$} \sqrt{\fbox{$38$}}}{\fbox{$39$}} \] である．
(1) $\displaystyle \left( ax+\frac{2}{a^2x} \right)^{10}$を展開したところ，$x^2$の項の係数は$560$であった．ただし$a>0$とする．このとき，$a$の値は$\sqrt{\fbox{$1$}}$であり，$x^{-6}$の項の係数は$\displaystyle \frac{\fbox{$2$}\fbox{$3$}}{\fbox{$4$}\fbox{$5$}\fbox{$6$}}$である．
(2) 関数$f(x)=\log_a x$があり，以下に示す$\maruichi$と$\maruni$は共通の解をもつ． \[ \left\{ \begin{array}{lr} f(x)+f(x-3)=4 & \cdots\cdots\maruichi \\ f(3x^2-16x+20)-f(x-2)=2 & \cdots\cdots\maruni \end{array} \right. \]
(ⅰ) $f(2 \sqrt[4]{6})-f(\sqrt[8]{6 \sqrt{72}})$の値は$\displaystyle \frac{\fbox{$7$}\fbox{$8$}}{\fbox{$9$}}$である．
(ⅱ) $y=f(x)$上の点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{A}(-4,\ 8)$を結んだ線分$\mathrm{AP}$を$1:3$に内分する点の軌跡は，底を$a^4$とする対数関数$y=\log_{a^4} x$のグラフを$x$軸正方向に$\fbox{$10$}\fbox{$11$}$，$y$軸正方向に$\fbox{$12$}$平行移動したグラフとなる．
(3) 三角形$\mathrm{ABC}$において，$3$辺の長さは$\mathrm{AB}=2a+1$，$\mathrm{BC}=2a$，$\mathrm{CA}=a$であり，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{11}{24}$である．ただし$a>0$とする．
(ⅰ) 内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$\displaystyle \frac{\fbox{$13$}\fbox{$14$}}{\fbox{$15$}}$である．
(ⅱ) 辺$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{CA}$の垂直二等分線と線分$\mathrm{CQ}$，辺$\mathrm{CA}$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$とおく．このとき$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表すと， \[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{\fbox{$16$}\fbox{$17$}}{\fbox{$18$}\fbox{$19$}} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\fbox{$20$}\fbox{$21$}}{\fbox{$22$}\fbox{$23$}} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \] である．
(4) 下図のように，$4$行$4$列の計$16$個のマス目をつくり，さらに太線でそれぞれ$2$行$2$列からなる$4$つの区画に分ける．それぞれのマス目に$1$から$4$までの数字を$1$つずつ書き込む．ただし，以下の$3$つの条件を全て満たすものとする．
[$\maruichi$] 各行には$1,\ 2,\ 3,\ 4$が$1$回ずつあらわれる． [$\maruni$] 各列には$1,\ 2,\ 3,\ 4$が$1$回ずつあらわれる． [$\marusan$] 各区画には$1,\ 2,\ 3,\ 4$が$1$回ずつあらわれる．
数字の書き込み方は全部で$\fbox{$24$}\fbox{$25$}\fbox{$26$}$通りある．
(5) 関数$\displaystyle f(x)=-\frac{2}{3}(8^x+8^{-x})+10(4^x+4^{-x})-24(2^{x+1}+2^{-x+1})+84$がある．
(ⅰ) $2^x+2^{-x}=5$のとき$f(x)$の値は$\displaystyle \frac{\fbox{$27$}}{\fbox{$28$}}$である．
(ⅱ) $2^x+2^{-x}=t$とおいたとき，$f(t)=k$の解$t$がただ$1$つであるような定数$k$の値の範囲は \[ \frac{\fbox{$29$}+\fbox{$30$} \sqrt{\fbox{$31$}}}{\fbox{$32$}}<k \leqq \frac{\fbox{$33$}\fbox{$34$}}{\fbox{$35$}},\ \ k<\frac{\fbox{$36$}-\fbox{$37$} \sqrt{\fbox{$38$}}}{\fbox{$39$}} \] である．
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