$r>0$とする．座標平面上の原点以外の点に対し，$2$種類の移動$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を以下のように定める．
移動$\mathrm{A} \ \cdots \ (r \cos \theta,\ r \sin \theta)$にある点が$\displaystyle \left( r \cos \left( \theta+\frac{\pi}{6} \right),\ r \sin \left( \theta+\frac{\pi}{6} \right) \right)$に動く．
移動$\mathrm{B} \ \cdots \ (r \cos \theta,\ r \sin \theta)$にある点が$((r+1) \cos \theta,\ (r+1) \sin \theta)$に動く．
\imgc{202_93_2014_2} 動点$\mathrm{K}$は点$(1,\ 0)$を出発し，上記$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$いずれかの移動をくり返しながら座標平面上を動くとする．
(1) 動点$\mathrm{K}$が$\mathrm{B}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}$の順に$4$回の移動を行ったとき，到達する点の座標は$(\fbox{$49$} \sqrt{\fbox{$50$}},\ \fbox{$51$})$である．
(2) 動点$\mathrm{K}$が$7$回の移動で点$(0,\ 5)$に到達する経路は$\fbox{$52$}\fbox{$53$}$通りあり，そのうち点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ \frac{3 \sqrt{3}}{2} \right)$を{\bf 通らない}ものは$\fbox{$54$}\fbox{$55$}$通りある．
以下，$p$を$0 \leqq p \leqq 1$を満たす定数とする．動点$\mathrm{K}$は各回の移動において，確率$p$で移動$\mathrm{A}$を，確率$1-p$で移動$\mathrm{B}$を行うものとする．
(3) 動点$\mathrm{K}$が$5$回の移動で到達する点の座標が$(0,\ 3)$である確率$P$を，$p$を用いた式で表しなさい．
(4) 動点$\mathrm{K}$が$3$回の移動で到達する点の$y$座標を$a$とするとき，$a^2$の期待値$E$を$p$を用いた式で表しなさい．