慶應義塾大学
2014年 商学部 第3問
3
![1辺の長さが1の正六角形ABCDEFを考える．(1)CDの中点をP，EFの中点をQ，APとBEの交点をRとするとき，ベクトルAP=[32]ベクトルAB+\frac{[33]}{[34]}ベクトルAF，ベクトルBQ=-\frac{[35]}{[36]}ベクトルAB+\frac{[37]}{[38]}ベクトルAF，ベクトルCR=-ベクトルAB-\frac{[39]}{[40]}ベクトルAFと表せる．(2)|kベクトルBQ+ベクトルCR|が最小になるような実数kの値は-\frac{[41]}{[42]}であり，そのときの|kベクトルBQ+ベクトルCR|の最小値は\frac{\sqrt{[43][44]}}{[45]}となる．(3)直線APと直線EDの交点をSとするとき，三角形PQRの面積は三角形DPSの面積の\frac{[46][47]}{[48]}倍である．](./thumb/202/93/2014_3.png)
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$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$を考える．
(1) $\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{EF}$の中点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{AP}$と$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\fbox{$32$} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\fbox{$33$}}{\fbox{$34$}} \overrightarrow{\mathrm{AF}}$，
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BQ}}=-\frac{\fbox{$35$}}{\fbox{$36$}} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\fbox{$37$}}{\fbox{$38$}} \overrightarrow{\mathrm{AF}}$，
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CR}}=-\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{\fbox{$39$}}{\fbox{$40$}} \overrightarrow{\mathrm{AF}}$
と表せる．
(2) $|k \overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}|$が最小になるような実数$k$の値は$\displaystyle -\frac{\fbox{$41$}}{\fbox{$42$}}$であり，そのときの$|k \overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}|$の最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{$43$}\fbox{$44$}}}{\fbox{$45$}}$となる．
(3) 直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{S}$とするとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積は三角形$\mathrm{DPS}$の面積の$\displaystyle \frac{\fbox{$46$}\fbox{$47$}}{\fbox{$48$}}$倍である．
(1) $\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{EF}$の中点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{AP}$と$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\fbox{$32$} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\fbox{$33$}}{\fbox{$34$}} \overrightarrow{\mathrm{AF}}$，
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BQ}}=-\frac{\fbox{$35$}}{\fbox{$36$}} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\fbox{$37$}}{\fbox{$38$}} \overrightarrow{\mathrm{AF}}$，
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CR}}=-\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{\fbox{$39$}}{\fbox{$40$}} \overrightarrow{\mathrm{AF}}$
と表せる．
(2) $|k \overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}|$が最小になるような実数$k$の値は$\displaystyle -\frac{\fbox{$41$}}{\fbox{$42$}}$であり，そのときの$|k \overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}|$の最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{$43$}\fbox{$44$}}}{\fbox{$45$}}$となる．
(3) 直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{S}$とするとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積は三角形$\mathrm{DPS}$の面積の$\displaystyle \frac{\fbox{$46$}\fbox{$47$}}{\fbox{$48$}}$倍である．
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