慶應義塾大学
2014年 経済学部 第2問
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![a,b,cを実数とする．xの関数F(x)をF(x)=1/3x^3+ax^2+bx+cと定め，f(x)=F´(x)とおく．関数F(x)はx=αにおいて極大に，x=βにおいて極小になるとする．点(α,f(α))，(β,f(β))における曲線y=f(x)の接線をそれぞれℓ_α，ℓ_βとする．(1)直線ℓ_αとℓ_βの交点の座標は(\frac{[15]}{[16]}α+\frac{[17]}{[18]}β,\frac{[19][20]}{[21]}(β-α)^2)である．(2)曲線y=f(x)と直線ℓ_α，ℓ_βとで囲まれた図形の面積をSとすると，S=\frac{[22]}{[23][24]}(β-α)^3である．必要なら次の公式を使ってよい．rを実数とすると∫(x+r)^2dx=1/3(x+r)^3+C(C は定数 )(3)実数a,bが不等式0≦a≦2,2a-4≦b≦2a-2をみたす範囲を動くとき，Sの最大値は\frac{[25][26]}{[27]}，最小値は\frac{[28][29]}{[30]}である．](./thumb/202/94/2014_2.png)
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$a,\ b,\ c$を実数とする．$x$の関数$F(x)$を
\[ F(x)=\frac{1}{3}x^3+ax^2+bx+c \]
と定め，
\[ f(x)=F^\prime(x) \]
とおく．関数$F(x)$は$x=\alpha$において極大に，$x=\beta$において極小になるとする．点$(\alpha,\ f(\alpha))$，$(\beta,\ f(\beta))$における曲線$y=f(x)$の接線をそれぞれ$\ell_\alpha$，$\ell_\beta$とする．
(1) 直線$\ell_\alpha$と$\ell_\beta$の交点の座標は \[ \left( \frac{\fbox{$15$}}{\fbox{$16$}} \alpha+\frac{\fbox{$17$}}{\fbox{$18$}} \beta,\ \frac{\fbox{$19$}\fbox{$20$}}{\fbox{$21$}} (\beta-\alpha)^2 \right) \] である．
(2) 曲線$y=f(x)$と直線$\ell_\alpha$，$\ell_\beta$とで囲まれた図形の面積を$S$とすると， \[ S=\frac{\fbox{$22$}}{\fbox{$23$}\fbox{$24$}} (\beta-\alpha)^3 \] である．必要なら次の公式を使ってよい．$r$を実数とすると \[ \int (x+r)^2 \, dx=\frac{1}{3}(x+r)^3+C \quad (C \text{は定数}) \]
(3) 実数$a,\ b$が不等式 \[ 0 \leqq a \leqq 2,\quad 2a-4 \leqq b \leqq 2a-2 \] をみたす範囲を動くとき，$S$の最大値は$\displaystyle \frac{\fbox{$25$}\fbox{$26$}}{\fbox{$27$}}$，最小値は$\displaystyle \frac{\fbox{$28$}\fbox{$29$}}{\fbox{$30$}}$である．
(1) 直線$\ell_\alpha$と$\ell_\beta$の交点の座標は \[ \left( \frac{\fbox{$15$}}{\fbox{$16$}} \alpha+\frac{\fbox{$17$}}{\fbox{$18$}} \beta,\ \frac{\fbox{$19$}\fbox{$20$}}{\fbox{$21$}} (\beta-\alpha)^2 \right) \] である．
(2) 曲線$y=f(x)$と直線$\ell_\alpha$，$\ell_\beta$とで囲まれた図形の面積を$S$とすると， \[ S=\frac{\fbox{$22$}}{\fbox{$23$}\fbox{$24$}} (\beta-\alpha)^3 \] である．必要なら次の公式を使ってよい．$r$を実数とすると \[ \int (x+r)^2 \, dx=\frac{1}{3}(x+r)^3+C \quad (C \text{は定数}) \]
(3) 実数$a,\ b$が不等式 \[ 0 \leqq a \leqq 2,\quad 2a-4 \leqq b \leqq 2a-2 \] をみたす範囲を動くとき，$S$の最大値は$\displaystyle \frac{\fbox{$25$}\fbox{$26$}}{\fbox{$27$}}$，最小値は$\displaystyle \frac{\fbox{$28$}\fbox{$29$}}{\fbox{$30$}}$である．
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