$1$辺の長さが$1$である正六角形の頂点を時計の針の回り方と逆回りに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{b}$とする．
(1) $\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{\fbox{$1$}\fbox{$2$}}{\fbox{$3$}}$，$\displaystyle (2 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}) \cdot (3 \overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b})=\frac{\fbox{$4$}\fbox{$5$}}{\fbox{$6$}}$である．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=2s \overrightarrow{a}+(3-3s) \overrightarrow{b}$で与えられる点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ACF}$の内部に存在するような実数$s$の値の範囲は \[ \frac{\fbox{$7$}}{\fbox{$8$}}<s<\frac{\fbox{$9$}}{\fbox{$10$}} \] である．
(3) 正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の外接円を$\mathrm{S}$とする．$\mathrm{S}$の周上の任意の点$\mathrm{Q}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$は \[ \fbox{$11$}\fbox{$12$} \overrightarrow{q} \cdot \overrightarrow{q}+\fbox{$13$}\fbox{$14$} \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{q}+2 \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{q}=0 \] をみたす．