以下の文章の空欄に適切な数，式または行列を入れて文章を完成させなさい．ただし$(2)$において，適切な行列が複数個ある場合は，それらをすべて記入しなさい．
(1) $a_1=1$，$a_2=4$，$a_{n+2}=-a_{n+1}+2a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\fbox{あ}$である．
(2) 行列$A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$の表す$1$次変換により点$\mathrm{B}(1,\ 1)$と点$\mathrm{C}(1,\ 0)$はそれぞれ点$\mathrm{B}^\prime$と点$\mathrm{C}^\prime$に移されるとする．また$\mathrm{O}(0,\ 0)$を原点とする．$\overrightarrow{\mathrm{OB}^\prime}=2 \overrightarrow{\mathrm{OB}}$，かつ$\triangle \mathrm{OB}^\prime \mathrm{C}^\prime$が正三角形となるような行列$A$をすべて求めると$A=\fbox{い}$である．
(3) 媒介変数$t$を用いて \[ \left\{ \begin{array}{l} x=\displaystyle \frac{e^t+3e^{-t}}{2} \\ \\ y=e^t-2e^{-t} \end{array} \right. \] と表される曲線$C$の方程式は \[ \fbox{う}x^2+\fbox{え}xy+\fbox{お}y^2=25 \] である．
また曲線$C$の接線の傾きは，$t=\fbox{か}$に対応する点において$-2$となる．
(4) $\alpha>1$を実数とする．$0 \leqq x \leqq 1$を定義域とする関数$f(x)=x-x^\alpha$が最大値をとる点を$x(\alpha)$とすると$x(\alpha)=\fbox{き}$である．また$\displaystyle \lim_{\alpha \to 1+0} x(\alpha)=\fbox{く}$である．