以下の$\fbox{ト}$，$\fbox{ナ}$，$\fbox{ニ}$には三角関数は$\sin \theta$と$\cos \theta$のみを用いて記入し，$\fbox{ヌ}$には$x$の式，$\fbox{ネ}$には$y$の式を記入すること．
座標平面上の$2$点$(1,\ 0)$，$(0,\ 1)$を結ぶ曲線$C$が媒介変数$\theta$を用いて \[ \left\{ \begin{array}{l} x=f(\theta) \\ y=g(\theta) \end{array} \right. \quad \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right) \] と表されているとする．いま，関数$f(\theta)$，$g(\theta)$は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$で連続，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$で微分可能かつ$f^\prime(\theta) \neq 0$であるとする．また$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，点$(f(\theta),\ g(\theta))$における曲線$C$の接線の傾きが$-\tan \theta$であり，この接線から$x$軸，$y$軸で切り取られる線分の長さがつねに一定で$1$であるとする．
まず，この曲線$C$の方程式を求めたい．$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，曲線$C$上の点$(f(\theta),\ g(\theta))$における接線を$y=-(\tan \theta)x+h(\theta)$と表すと$h(\theta)=\fbox{ト}$となる．この接線の傾きが$\displaystyle \frac{g^\prime(\theta)}{f^\prime(\theta)}$となることより，$f(\theta)=\fbox{ナ}$，$g(\theta)=\fbox{ニ}$となる．したがって，曲線$C$を$x,\ y$の方程式で表すと \[ \fbox{ヌ}+\fbox{ネ}=1 \quad (x \geqq 0,\ y \geqq 0) \] となる．
次に，点$(f(\theta),\ g(\theta))$における曲線$C$の法線を$\ell(\theta)$とする．$\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{4}$のとき$\ell(\theta)$と$\displaystyle \ell \left( \frac{\pi}{4} \right)$との交点の$x$座標を$X(\theta)$とすると，$\displaystyle \lim_{\theta \to \frac{\pi}{4}} X(\theta)=\fbox{ノ}$となる．
また，曲線$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれた部分の面積は$\fbox{ハ}$である．