慶應義塾大学
2014年 理工学部 第1問
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![次の問いに答えよ．(1)3次方程式x^3+1=0の-1でない解の1つをαとするとき，(3+7α)(7+3α)-4(1+α^2)=[ア]αとなる．(2)三角形ABCにおいて，AB=2,∠ACB=π/4,∠BAC=π/3であるとき，AC=[イ]である．(3)X=(\begin{array}{rr}2&1\-2&-1\end{array})，Y=(\begin{array}{rr}-3&0\0&-3\end{array})および自然数nに対し，3X^n-5X^3Y+X^2Y^2+XY^3+Y^n=(\begin{array}{cc}[ウ]&[エ]\[オ]&[カ]\end{array})となる．(4)a,bをa＞0，b＞1となる実数とする．放物線y=-ax^2+bと円x^2+y^2=1の共有点が2個であるための必要十分条件は，b=[キ]かつa＞[ク]が成り立つことである．ただし，[キ]にはaの式，[ク]には数を記入すること．](./thumb/202/89/2014_1.png)
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次の問いに答えよ．
(1) $3$次方程式$x^3+1=0$の$-1$でない解の$1$つを$\alpha$とするとき， \[ (3+7 \alpha)(7+3 \alpha)-4(1+\alpha^2)=\fbox{ア} \alpha \] となる．
(2) 三角形$\mathrm{ABC}$において， \[ \mathrm{AB}=2,\quad \angle \mathrm{ACB}=\frac{\pi}{4},\quad \angle \mathrm{BAC}=\frac{\pi}{3} \] であるとき，$\mathrm{AC}=\fbox{イ}$である．
(3) $X=\left( \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{array} \right)$，$Y=\left( \begin{array}{rr} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{array} \right)$および自然数$n$に対し， \[ 3X^n-5X^3Y+X^2Y^2+XY^3+Y^n=\left( \begin{array}{cc} \fbox{ウ} & \fbox{エ} \\ \fbox{オ} & \fbox{カ} \end{array} \right) \] となる．
(4) $a,\ b$を$a>0$，$b>1$となる実数とする．放物線$y=-ax^2+b$と円$x^2+y^2=1$の共有点が$2$個であるための必要十分条件は，$b=\fbox{キ}$かつ$a>\fbox{ク}$が成り立つことである．ただし，$\fbox{キ}$には$a$の式，$\fbox{ク}$には数を記入すること．
(1) $3$次方程式$x^3+1=0$の$-1$でない解の$1$つを$\alpha$とするとき， \[ (3+7 \alpha)(7+3 \alpha)-4(1+\alpha^2)=\fbox{ア} \alpha \] となる．
(2) 三角形$\mathrm{ABC}$において， \[ \mathrm{AB}=2,\quad \angle \mathrm{ACB}=\frac{\pi}{4},\quad \angle \mathrm{BAC}=\frac{\pi}{3} \] であるとき，$\mathrm{AC}=\fbox{イ}$である．
(3) $X=\left( \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{array} \right)$，$Y=\left( \begin{array}{rr} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{array} \right)$および自然数$n$に対し， \[ 3X^n-5X^3Y+X^2Y^2+XY^3+Y^n=\left( \begin{array}{cc} \fbox{ウ} & \fbox{エ} \\ \fbox{オ} & \fbox{カ} \end{array} \right) \] となる．
(4) $a,\ b$を$a>0$，$b>1$となる実数とする．放物線$y=-ax^2+b$と円$x^2+y^2=1$の共有点が$2$個であるための必要十分条件は，$b=\fbox{キ}$かつ$a>\fbox{ク}$が成り立つことである．ただし，$\fbox{キ}$には$a$の式，$\fbox{ク}$には数を記入すること．
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