慶應義塾大学
2014年 環境情報学部 第4問
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![関数f_1(x)，g_1(x)をつぎのように定める．\begin{array}{l}f_1(x)={\begin{array}{ll}1&(x＞1)\x&(-1≦x≦1)\-1&(x＜-1)\end{array}.\\g_1(x)=1/2(f_1(1+x)+f_1(1-x))\end{array}このとき∫_{-1}^1g_1(x)dx=\frac{[37]}{[38]}である．つぎに関数f_2(x)をつぎのように定める．f_2(x)=∫_0^xg_1(t)dtこのときf_2(x)=x-\frac{x^2}{[39]}(0≦x≦2),∫_0^2f_2(x)dx=\frac{[40]}{[41]}を得る．さらにg_2(x)=1/2(f_2(1+x)+f_2(1-x))とおけばg_2(x)=\frac{[42]}{[43]}-\frac{[44]}{[45]}x+\frac{[46]}{[47]}x^2(1≦x≦3)そして∫_{-3}^3g_2(x)dx=[48][49]を得る．](./thumb/202/95/2014_4.png)
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関数$f_1(x)$，$g_1(x)$をつぎのように定める．
\[ \begin{array}{l} f_1(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
1 & (x>1) \\
x & (-1 \leqq x \leqq 1) \\
-1 & (x<-1)
\end{array} \right. \\ \\
g_1(x)=\displaystyle\frac{1}{2}(f_1(1+x)+f_1(1-x))
\end{array} \]
このとき
\[ \int_{-1}^1 g_1(x) \, dx=\frac{\fbox{$37$}}{\fbox{$38$}} \]
である．
つぎに関数$f_2(x)$をつぎのように定める． \[ f_2(x)=\int_0^x g_1(t) \, dt \] このとき \[ f_2(x)=x-\frac{x^2}{\fbox{$39$}} \quad (0 \leqq x \leqq 2),\quad \int_0^2 f_2(x) \, dx=\frac{\fbox{$40$}}{\fbox{$41$}} \] を得る．さらに \[ g_2(x)=\frac{1}{2}(f_2(1+x)+f_2(1-x)) \] とおけば \[ g_2(x)=\frac{\fbox{$42$}}{\fbox{$43$}}-\frac{\fbox{$44$}}{\fbox{$$45}}x+\frac{\fbox{$46$}}{\fbox{$47$}}x^2 \quad (1 \leqq x \leqq 3) \] そして \[ \int_{-3}^3 g_2(x) \, dx=\fbox{$48$}\fbox{$49$} \] を得る．
つぎに関数$f_2(x)$をつぎのように定める． \[ f_2(x)=\int_0^x g_1(t) \, dt \] このとき \[ f_2(x)=x-\frac{x^2}{\fbox{$39$}} \quad (0 \leqq x \leqq 2),\quad \int_0^2 f_2(x) \, dx=\frac{\fbox{$40$}}{\fbox{$41$}} \] を得る．さらに \[ g_2(x)=\frac{1}{2}(f_2(1+x)+f_2(1-x)) \] とおけば \[ g_2(x)=\frac{\fbox{$42$}}{\fbox{$43$}}-\frac{\fbox{$44$}}{\fbox{$$45}}x+\frac{\fbox{$46$}}{\fbox{$47$}}x^2 \quad (1 \leqq x \leqq 3) \] そして \[ \int_{-3}^3 g_2(x) \, dx=\fbox{$48$}\fbox{$49$} \] を得る．
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