$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に円$C:x^2+y^2=r^2$と放物線$\displaystyle D:y=\frac{1}{2}x^2-t$がある．ただし$r$と$t$はそれぞれ正の実数の定数とする．点$(0,\ -55)$から放物線$D$に傾きが正の接線を引くとき，その接線の傾きは$3 \sqrt{6}$である．放物線$D$上には$x$座標がそれぞれ$-4 \sqrt{3}$，$4 \sqrt{3}$である点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，円$C$はこの$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る．このとき，
(1) $t=\fbox{$40$}\fbox{$41$}$である．
(2) $r=\fbox{$42$}$である．
(3) 円$C$と$2$線分$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$で囲まれる$2$つの扇形のうち，$\angle \mathrm{POQ}$が$\pi$より小さい方の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{$43$}\fbox{$44$}}{\fbox{$45$}} \pi$である．
(4) 円$C$と放物線$D$で囲まれた図形のうち， \[ \left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2 \geqq r^2 \\ y \geqq \displaystyle\frac{1}{2}x^2-t \end{array} \right. \] で表される図形の面積は$\displaystyle \fbox{$46$}\fbox{$47$}\fbox{$48$} \sqrt{\fbox{$49$}}-\frac{\fbox{$50$}\fbox{$51$}}{\fbox{$52$}} \pi$である．