以下の文章の空欄に適切な式を入れて文章を完成させなさい．また$(3) \ \tokeini$に答えなさい．
放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$を$C$で表す．$C$上にない点$\displaystyle \mathrm{P}(X,\ Y) \ \ \left( \text{ただし} Y<\frac{1}{2}X^2+\frac{1}{2} \right)$から$C$に引いた$2$本の接線のうち，接点の$x$座標が小さい方を$\ell_1$とし，大きい方を$\ell_2$とする．また$\ell_1$，$\ell_2$と$C$との接点をそれぞれ$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$とする．

(1) 接線$\ell_1,\ \ell_2$の傾き$m_1,\ m_2$はそれぞれ$m_1=\fbox{あ}$，$m_2=\fbox{い}$である．
(2) $\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$における$C$の法線をそれぞれ$L_1$，$L_2$とするとき，$L_1$と$L_2$の交点$\mathrm{R}$の座標を$X,\ Y$を用いた式で表すと \[ \left( \fbox{う},\ \fbox{え} \right) \] である．
(3) $\angle \mathrm{Q}_1 \mathrm{PQ}_2$が一定値$\alpha$（ただし$0<\alpha<\pi$）となるような点$\mathrm{P}(X,\ Y)$の軌跡を$S(\alpha)$で表す．
(ⅰ) $\displaystyle S \left( \frac{\pi}{2} \right)$の方程式は$\fbox{お}$である．
(ⅱ) $\displaystyle \alpha \neq \frac{\pi}{2}$のときに$S(\alpha)$を求めなさい．
(4) 点$\mathrm{P}(X,\ Y)$が$\displaystyle S \left( \frac{\pi}{2} \right)$の上を動くとき，点$\mathrm{R}$が描く軌跡の方程式は$\fbox{か}$である．