慶應義塾大学
2014年 薬学部 第1問
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![次の問いに答えよ．(1)実数xの関数f(x)=x^3-ax^2+bx+4b-2は，\lim_{x→4}\frac{f(x)}{x-2}=-5を満たす．ただし，a,bは実数とする．このとき，(i)bをaの式で表すと，b=[1]a-[2]である．(ii)xの値が3から6まで変化するときの関数f(x)の平均変化率が，関数f(x)のx=2+√7における微分係数に等しいとき，a=[3]，b=[4]である．(2)実数aについての方程式A=|2a+4/3k|+|a-8/9k|において，a=1/4のときA=21/4である．ただし，kは正の実数の定数とする．このとき，(i)k=\frac{[5]}{[6]}である．(ii)Aの最小値は\frac{[7]}{[8]}であり，このときのaの値は\frac{[9][10]}{[11]}である．(3)nを自然数とする．数列{a_n}は，a_1=5，a_{n+1}=\frac{25}{{a_n}^2}を満たす．このとき，(i)a_3=[12][13]，a_4=\frac{[14]}{[15][16]}である．(ii)b_n=log_5a_nとおくとき，数列{b_n}の一般項をnの式で表すと，b_n=\frac{([17][18])^{n-1}}{[19]}+\frac{[20]}{[21]}である．(4)円に内接する四角形ABCDにおいて，∠BCD=60°，CD=2√6，∠DAB＞∠CDAである．また2直線BA，CDの交点をE，2直線DA，CBの交点をFとすると，∠AFB=45°，DE=3√2-√6である．このとき，(i)∠AEDの大きさは{[22][23]}°であり，辺EBの長さは[24]である．(ii)三角形AEDの面積は，三角形CEBの面積の\frac{[25]-\sqrt{[26]}}{[27]}倍である．(5)xy平面上に放物線C:2x^2+(k-5)x-(k+1)y+6k-14=0と直線ℓ:y=1/2xがある．kはk≠-1を満たす実数とする．放物線Cは-1を除くすべての実数kに対して2定点A(x_A,y_A)，B(x_B,y_B)を通る．ただし，x_A＜x_Bとする．このとき，(i)2点A，Bの座標は(x_A,y_A)=([28][29],[30]),(x_B,y_B)=([31],[32][33])である．(ii)直線ℓ上に点Pをおき，2点A，Bをそれぞれ点Pと線分で結ぶとき，距離の和AP+BPを最小にする点Pの座標は(\frac{[34][35]}{[36]},\frac{[37][38]}{[39]})である．](./thumb/202/97/2014_1.png)
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次の問いに答えよ．
(1) 実数$x$の関数$f(x)=x^3-ax^2+bx+4b-2$は，$\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{f(x)}{x-2}=-5$を満たす．ただし，$a,\ b$は実数とする．このとき，
(ⅰ) $b$を$a$の式で表すと，$b=\fbox{$1$}a-\fbox{$2$}$である．
(ⅱ) $x$の値が$3$から$6$まで変化するときの関数$f(x)$の平均変化率が，関数$f(x)$の$x=2+\sqrt{7}$における微分係数に等しいとき，$a=\fbox{$3$}$，$b=\fbox{$4$}$である．
(2) 実数$a$についての方程式 \[ A=|2a+\displaystyle\frac{4|{3}k}+|a-\displaystyle\frac{8|{9}k} \] において，$\displaystyle a=\frac{1}{4}$のとき$\displaystyle A=\frac{21}{4}$である．ただし，$k$は正の実数の定数とする．このとき，
(ⅰ) $\displaystyle k=\frac{\fbox{$5$}}{\fbox{$6$}}$である．
(ⅱ) $A$の最小値は$\displaystyle \frac{\fbox{$7$}}{\fbox{$8$}}$であり，このときの$a$の値は$\displaystyle \frac{\fbox{$9$}\fbox{$10$}}{\fbox{$11$}}$である．
(3) $n$を自然数とする．数列$\{a_n\}$は，$a_1=5$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{25}{{a_n}^2}$を満たす．このとき，
(ⅰ) $a_3=\fbox{$12$}\fbox{$13$}$，$\displaystyle a_4=\frac{\fbox{$14$}}{\fbox{$15$}\fbox{$16$}}$である．
(ⅱ) $b_n=\log_5 a_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を$n$の式で表すと， \[ b_n=\frac{\left( \fbox{$17$}\fbox{$18$} \right)^{n-1}}{\fbox{$19$}}+\frac{\fbox{$20$}}{\fbox{$21$}} \] である．
(4) 円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\angle \mathrm{BCD}=60^\circ$，$\mathrm{CD}=2 \sqrt{6}$，$\angle \mathrm{DAB}>\angle \mathrm{CDA}$である．また$2$直線$\mathrm{BA}$，$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{E}$，$2$直線$\mathrm{DA}$，$\mathrm{CB}$の交点を$\mathrm{F}$とすると，$\angle \mathrm{AFB}=45^\circ$，$\mathrm{DE}=3 \sqrt{2}-\sqrt{6}$である．このとき，
(ⅰ) $\angle \mathrm{AED}$の大きさは${\fbox{$22$}\fbox{$23$}}^\circ$であり，辺$\mathrm{EB}$の長さは$\fbox{$24$}$である．
(ⅱ) 三角形$\mathrm{AED}$の面積は，三角形$\mathrm{CEB}$の面積の$\displaystyle \frac{\fbox{$25$}-\sqrt{\fbox{$26$}}}{\fbox{$27$}}$倍である．
(5) $xy$平面上に放物線$C:2x^2+(k-5)x-(k+1)y+6k-14=0$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x$がある．$k$は$k \neq -1$を満たす実数とする．放物線$C$は$-1$を除くすべての実数$k$に対して$2$定点$\mathrm{A}(x_\mathrm{A},\ y_\mathrm{A})$，$\mathrm{B}(x_\mathrm{B},\ y_\mathrm{B})$を通る．ただし，$x_\mathrm{A}<x_\mathrm{B}$とする．このとき，
(ⅰ) $2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標は \[ (x_\mathrm{A},\ y_\mathrm{A})=\left( \fbox{$28$}\fbox{$29$},\ \fbox{$30$} \right),\quad (x_\mathrm{B},\ y_\mathrm{B})=\left( \fbox{$31$},\ \fbox{$32$}\fbox{$33$} \right) \] である．
(ⅱ) 直線$\ell$上に点$\mathrm{P}$をおき，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をそれぞれ点$\mathrm{P}$と線分で結ぶとき，距離の和$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$を最小にする点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{\fbox{$34$}\fbox{$35$}}{\fbox{$36$}},\ \frac{\fbox{$37$}\fbox{$38$}}{\fbox{$39$}} \right)$である．
(1) 実数$x$の関数$f(x)=x^3-ax^2+bx+4b-2$は，$\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{f(x)}{x-2}=-5$を満たす．ただし，$a,\ b$は実数とする．このとき，
(ⅰ) $b$を$a$の式で表すと，$b=\fbox{$1$}a-\fbox{$2$}$である．
(ⅱ) $x$の値が$3$から$6$まで変化するときの関数$f(x)$の平均変化率が，関数$f(x)$の$x=2+\sqrt{7}$における微分係数に等しいとき，$a=\fbox{$3$}$，$b=\fbox{$4$}$である．
(2) 実数$a$についての方程式 \[ A=|2a+\displaystyle\frac{4|{3}k}+|a-\displaystyle\frac{8|{9}k} \] において，$\displaystyle a=\frac{1}{4}$のとき$\displaystyle A=\frac{21}{4}$である．ただし，$k$は正の実数の定数とする．このとき，
(ⅰ) $\displaystyle k=\frac{\fbox{$5$}}{\fbox{$6$}}$である．
(ⅱ) $A$の最小値は$\displaystyle \frac{\fbox{$7$}}{\fbox{$8$}}$であり，このときの$a$の値は$\displaystyle \frac{\fbox{$9$}\fbox{$10$}}{\fbox{$11$}}$である．
(3) $n$を自然数とする．数列$\{a_n\}$は，$a_1=5$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{25}{{a_n}^2}$を満たす．このとき，
(ⅰ) $a_3=\fbox{$12$}\fbox{$13$}$，$\displaystyle a_4=\frac{\fbox{$14$}}{\fbox{$15$}\fbox{$16$}}$である．
(ⅱ) $b_n=\log_5 a_n$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を$n$の式で表すと， \[ b_n=\frac{\left( \fbox{$17$}\fbox{$18$} \right)^{n-1}}{\fbox{$19$}}+\frac{\fbox{$20$}}{\fbox{$21$}} \] である．
(4) 円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\angle \mathrm{BCD}=60^\circ$，$\mathrm{CD}=2 \sqrt{6}$，$\angle \mathrm{DAB}>\angle \mathrm{CDA}$である．また$2$直線$\mathrm{BA}$，$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{E}$，$2$直線$\mathrm{DA}$，$\mathrm{CB}$の交点を$\mathrm{F}$とすると，$\angle \mathrm{AFB}=45^\circ$，$\mathrm{DE}=3 \sqrt{2}-\sqrt{6}$である．このとき，
(ⅰ) $\angle \mathrm{AED}$の大きさは${\fbox{$22$}\fbox{$23$}}^\circ$であり，辺$\mathrm{EB}$の長さは$\fbox{$24$}$である．
(ⅱ) 三角形$\mathrm{AED}$の面積は，三角形$\mathrm{CEB}$の面積の$\displaystyle \frac{\fbox{$25$}-\sqrt{\fbox{$26$}}}{\fbox{$27$}}$倍である．
(5) $xy$平面上に放物線$C:2x^2+(k-5)x-(k+1)y+6k-14=0$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x$がある．$k$は$k \neq -1$を満たす実数とする．放物線$C$は$-1$を除くすべての実数$k$に対して$2$定点$\mathrm{A}(x_\mathrm{A},\ y_\mathrm{A})$，$\mathrm{B}(x_\mathrm{B},\ y_\mathrm{B})$を通る．ただし，$x_\mathrm{A}<x_\mathrm{B}$とする．このとき，
(ⅰ) $2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標は \[ (x_\mathrm{A},\ y_\mathrm{A})=\left( \fbox{$28$}\fbox{$29$},\ \fbox{$30$} \right),\quad (x_\mathrm{B},\ y_\mathrm{B})=\left( \fbox{$31$},\ \fbox{$32$}\fbox{$33$} \right) \] である．
(ⅱ) 直線$\ell$上に点$\mathrm{P}$をおき，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をそれぞれ点$\mathrm{P}$と線分で結ぶとき，距離の和$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$を最小にする点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{\fbox{$34$}\fbox{$35$}}{\fbox{$36$}},\ \frac{\fbox{$37$}\fbox{$38$}}{\fbox{$39$}} \right)$である．
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