企業$X$と企業$Y$が，互いに競合する商品を販売しようとしている．両社は，販売する商品の特性を，ある程度の範囲の中から選ぶことが可能である．また，消費者の好みもさまざまである．この状況での企業の戦略決定を，次のモデルで考えてみよう．
企業$X$が販売する商品の特性を$x$，企業$Y$が販売する商品の特性を$y$，消費者の好みを$t$で表す．ただし，それぞれのとり得る値の範囲は， \[ 0 \leqq x \leqq 1,\quad 0 \leqq y \leqq 1,\quad 0 \leqq t \leqq 1 \] とする．企業$X$と$Y$は，まず，特性$x$と$y$をそれぞれ決めるものとする．その結果は公表され，各企業は，相手の企業が決めた特性も知るものとする．以下，$x<y$の場合に限定して考察する．第$2$段階として，企業$X$は販売する商品の$1$個あたりの販売価格$p$（円）を決め，同様に企業$Y$は$q$（円）を決める．ただし，販売価格のとり得る値の範囲は，$p>0$，$q>0$とする．一方，好み$t$を持つ消費者は，自分の好みと商品の特性および販売価格を考え合わせて，次のように商品を選択して購入するものとする．この消費者にとっての企業$X$の商品の価値$V_X$と企業$Y$の商品の価値$V_Y$が，$U$と$c$を正の定数として， \[ V_X=U-p-c(t-x)^2,\quad V_Y=U-q-c(t-y)^2 \] で定まるものとし，消費者は，自分にとっての価値が大きい方の商品を選択するものとする．問題の複雑化を避けるため，もし価値が等しければ，企業$X$の商品を選択するものとする．また，いずれの場合でも，消費者は，選択した商品を必ず購入するものとする．
以下の設問において，太線の四角による表示のある問い，例えば$\fbox{$(52)$}$や$\fbox{$(53)$}$など，に対しては$x,\ y,\ p,\ q,\ c$のいずれかの文字が入る．$x$を入れる場合は$1$，$y$ならば$2$，$p$ならば$3$，$q$ならば$4$，$c$ならば$5$と解答しなさい．

(1) 消費者の選択に関する仮定から実数$\overline{t}$が定まり，好み$t$を持つ消費者は，$t \leqq \overline{t}$であれば企業$X$の商品を選び，$t>\overline{t}$であれば企業$Y$の商品を選ぶことがわかる．$\overline{t}$の値を$x,\ y,\ p,\ q,\ c$を用いて表すと， \[ \frac{\fbox{$(52)$}+\fbox{$(53)$}}{\fbox{$(54)$}}+\frac{1}{\fbox{$(55)$} \fbox{$(56)$}} \cdot \frac{\fbox{$(57)$}-\fbox{$(58)$}}{\fbox{$(59)$}-\fbox{$(60)$}} \] となる．
(2) 次に，企業の売上高に相当する値を定める．はじめに記したように，消費者の好みはさまざまであり，その好みが$0$と$1$の間に分布していると考えている．その分布の仕方を特定すれば，各消費者の選択を集約することにより，各企業の売上高を定めることができる．ここでは，企業$X$の売上高に相当する評価値$T_X$と，企業$Y$の売上高に相当する評価値$T_Y$を， \[ T_X=p \overline{t},\quad T_Y=q(1-\overline{t}) \] と定め，これらの評価値を最大化する問題に置き換えて考える（ただし，$\overline{t}$は$(1)$で求めたものである）．もう少し詳しく記すと，第$2$段階における，$x<y$であることを前提とした価格設定がどのようになるかをまず調べ，その決定の仕方を考慮に入れて，評価値が最大になる商品の特性を求める，という問題をいくつかのステップに分けて考える．
まず，$T_X$を$p$の関数と考える．ここで，$T_X$を$p$の関数と考えるということは，$T_X$の式の中に含まれる$p$以外の文字，すなわち$x,\ y,\ q,\ c$はすべて定数と考える，ということである．この点に注意して，$T_X$が最大値をとる$p$の値を$x,\ y,\ q,\ c$を用いて表すと， \[ \frac{\fbox{$61$}}{\fbox{$62$}}+\frac{\fbox{$63$}(\fbox{$64$}+\fbox{$65$})(\fbox{$66$}-\fbox{$67$})}{\fbox{$68$}} \] となる．
(3) 同様にして，$T_Y$を$q$の関数と考え，$T_Y$が最大値をとる$q$の値を$x,\ y,\ p,\ c$を用いて表すことができる．$(2)$の結果と合わせると，$p$と$q$についての連立$1$次方程式が得られる．この連立方程式の解を$\overline{p}$と$\overline{q}$とすると，$p=\overline{p}$，$q=\overline{q}$において，$T_X$は$p$の関数として最大値をとり，同時に，$T_Y$は$q$の関数として最大値をとることがわかる．$\overline{p}$の値を$x,\ y,\ c$を用いて表すと， \[ \frac{\fbox{$69$}}{\fbox{$70$}} (\fbox{$71$}-\fbox{$72$})(\fbox{$73$}+\fbox{$74$}+\fbox{$75$}) \] となり，$\overline{p}$と$\overline{q}$に対する$\overline{t}$の値は， \[ \frac{\fbox{$76$}}{\fbox{$77$}}+\frac{\fbox{$78$}+\fbox{$79$}}{\fbox{$80$}} \] と表される．
(4) 最後に，各企業の価格決定が今求めた$\overline{p}$と$\overline{q}$になることを前提として，企業$X$は商品の特性$x$を以下のように決定する．まず，$p=\overline{p}$，$q=\overline{q}$として，$T_X$を$x$の関数と考える．次に，この関数$T_X=f(x)$が最大値をとる$x$の値を求める．その値を$\overline{x}$とする．ここで，関数$T_X=f(x)$のグラフの概形を座標平面に描きなさい．ただし，関数の極値および極値をとる$x$の値を明記する必要はありません．
(5) 企業$Y$もまったく同様にして，$p=\overline{p}$，$q=\overline{q}$とし，$T_Y$を$y$の関数と考えて，その関数が最大値をとる$y$の値を求める．その値を$\overline{y}$とする．$\overline{x}$と$\overline{y}$が決まれば，それらに対する$\overline{p}$と$\overline{q}$も確定する．これらの値の組は与えられた仮定を満たし，企業$X$と$Y$にとって，お互いに最適な戦略決定になっている．最終的に求められた$\overline{x}$，$\overline{y}$，$\overline{p}$，$\overline{q}$，$\overline{t}$それぞれの値を$c$を用いて表せ．