慶應義塾大学
2012年 商学部 第2問
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![Oを原点とする座標空間において，4点A_1(1,1,1),B_1(-1,-1,1),C_1(1,-1,-1),D_1(-1,1,-1)を考えると，立体A_1B_1C_1D_1は正四面体である．このとき，以下の設問に答えよ．(1)正四面体A_1B_1C_1D_1をxy平面に平行な平面z=-1+h(0≦h≦2)で切ったときに出来る図形の面積をS(h)とすると，S(h)=-[34]h^2+[35]hと表され，S(h)はh=[36]のとき最大値[37]をとる．（このときの図形はペトリー多角形と呼ばれている．）さらに，V_1=∫_0^2S(h)dh=\frac{[38]}{[39]}とおくと，V_1は正四面体A_1B_1C_1D_1の体積となっている．(2)三角形B_1C_1D_1，三角形C_1D_1A_1，三角形D_1A_1B_1，三角形A_1B_1C_1の重心をそれぞれA_2，B_2，C_2，D_2とする．このとき，立体A_2B_2C_2D_2は再び，正四面体となる．（このことを，正四面体は自己双対であるという．）同様に，nを自然数として，三角形B_nC_nD_n，三角形C_nD_nA_n，三角形D_nA_nB_n，三角形A_nB_nC_nの重心をそれぞれA_{n+1}，B_{n+1}，C_{n+1}，D_{n+1}とする．このとき，ベクトルOA_1+ベクトルOA_2+・・・+ベクトルOA_n=\frac{[40]}{[41]}{1-(-\frac{[42]}{[43]})^n}ベクトルOA_1である．また，正四面体A_nB_nC_nD_nの表面積S_nと体積V_nは，それぞれ，S_n=[44]・[45]^{-[46]n+\frac{[47]}{2}},V_n=[48]・[49]^{-[50]n+[51]}である．](./thumb/202/93/2012_2.png)
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$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$4$点
\[ \mathrm{A}_1(1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{B}_1(-1,\ -1,\ 1),\quad \mathrm{C}_1(1,\ -1,\ -1),\quad \mathrm{D}_1(-1,\ 1,\ -1) \]
を考えると，立体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$は正四面体である．このとき，以下の設問に答えよ．
(1) 正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$を$xy$平面に平行な平面$z=-1+h \ \ (0 \leqq h \leqq 2)$で切ったときに出来る図形の面積を$S(h)$とすると， \[ S(h)=-\fbox{$34$}h^2+\fbox{$35$}h \] と表され，$S(h)$は$h=\fbox{$36$}$のとき最大値$\fbox{$37$}$をとる．（このときの図形はペトリー多角形と呼ばれている．）さらに， \[ V_1=\int_0^2 S(h) \, dh=\frac{\fbox{$38$}}{\fbox{$39$}} \] とおくと，$V_1$は正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$の体積となっている．
(2) 三角形$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，三角形$\mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1$，三角形$\mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$，三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}_2$，$\mathrm{C}_2$，$\mathrm{D}_2$とする．このとき，立体$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$は再び，正四面体となる．（このことを，正四面体は自己双対であるという．）同様に，$n$を自然数として，三角形$\mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$，三角形$\mathrm{C}_n \mathrm{D}_n \mathrm{A}_n$，三角形$\mathrm{D}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$，三角形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_{n+1}$，$\mathrm{B}_{n+1}$，$\mathrm{C}_{n+1}$，$\mathrm{D}_{n+1}$とする．このとき， \[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OA}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OA}}_n=\frac{\fbox{$40$}}{\fbox{$41$}} \left\{ 1-\left( -\frac{\fbox{$42$}}{\fbox{$43$}} \right)^n \right\} \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1 \] である．また，正四面体$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の表面積$S_n$と体積$V_n$は，それぞれ， \[ S_n=\fbox{$44$} \cdot \fbox{$45$}^{-\fbox{$46$}n+\frac{\fbox{$47$}}{2}},\quad V_n=\fbox{$48$} \cdot \fbox{$49$}^{-\fbox{$50$}n+\fbox{$51$}} \] である．
(1) 正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$を$xy$平面に平行な平面$z=-1+h \ \ (0 \leqq h \leqq 2)$で切ったときに出来る図形の面積を$S(h)$とすると， \[ S(h)=-\fbox{$34$}h^2+\fbox{$35$}h \] と表され，$S(h)$は$h=\fbox{$36$}$のとき最大値$\fbox{$37$}$をとる．（このときの図形はペトリー多角形と呼ばれている．）さらに， \[ V_1=\int_0^2 S(h) \, dh=\frac{\fbox{$38$}}{\fbox{$39$}} \] とおくと，$V_1$は正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$の体積となっている．
(2) 三角形$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，三角形$\mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1$，三角形$\mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$，三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}_2$，$\mathrm{C}_2$，$\mathrm{D}_2$とする．このとき，立体$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$は再び，正四面体となる．（このことを，正四面体は自己双対であるという．）同様に，$n$を自然数として，三角形$\mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$，三角形$\mathrm{C}_n \mathrm{D}_n \mathrm{A}_n$，三角形$\mathrm{D}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$，三角形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_{n+1}$，$\mathrm{B}_{n+1}$，$\mathrm{C}_{n+1}$，$\mathrm{D}_{n+1}$とする．このとき， \[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OA}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OA}}_n=\frac{\fbox{$40$}}{\fbox{$41$}} \left\{ 1-\left( -\frac{\fbox{$42$}}{\fbox{$43$}} \right)^n \right\} \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1 \] である．また，正四面体$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の表面積$S_n$と体積$V_n$は，それぞれ， \[ S_n=\fbox{$44$} \cdot \fbox{$45$}^{-\fbox{$46$}n+\frac{\fbox{$47$}}{2}},\quad V_n=\fbox{$48$} \cdot \fbox{$49$}^{-\fbox{$50$}n+\fbox{$51$}} \] である．
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