座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 1)$をとる．また$0<s<1$，$0<t<1$とし，線分$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{OC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えなさい．
(1) $2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を，それぞれ$s,\ t$を用いて表しなさい．
(2) $\displaystyle s=\frac{1}{4}$，$\displaystyle t=\frac{1}{2}$のときの$\angle \mathrm{APQ}$の大きさを$\theta$とする．このとき$\cos \theta$の値を求めなさい．ただし，$0^\circ<\theta<180^\circ$とする．
(3) 線分$\mathrm{PQ}$の長さを$l$とする．このとき$s,\ t$が，それぞれ$0<s<1$，$0<t<1$の範囲を動くときの$l$の最小値を求めなさい．