ある企業が毎年$x$リットルの液体製品を製造している．生産するための総費用を$c$，設備の規模を$k$とする．製品1リットルの価格を$p$とし \[ c= 0.01x^3+0.8x^2+(4-k)x+5k^2 \] が成り立つとする．このとき利潤は$px-c$である．
(1) $p=15,\ k=1$のとき，$x$が \[ \frac{\fbox{(9)}\fbox{(10)}}{\fbox{(11)}\fbox{(12)}} \] のとき利潤は最大となる．
(2) 生産量$x$を変えずに，設備の規模$k$を変えて総費用$c$を最小化することを考えると \[ k=\frac{\fbox{(13)}\fbox{(14)}}{\fbox{(15)}\fbox{(16)}} x \] である．
(3) $p=19$とし，$k$と$x$は(2)で求めた関係式を満たすとする．このとき$x$が \[ \fbox{(17)}\fbox{(18)}\fbox{(19)}+\fbox{(20)}\fbox{(21)}\sqrt{\fbox{(22)}} \] のとき利潤は最大となる．