$a>0$とし，$x$の$3$次関数$f(x)$を \[ f(x) = x^3 -5ax^2 + 7a^2x \] と定める．また，$t \geqq 0$に対し，曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=t$，$x=t+1$で囲まれた部分の面積を$S(t)$で表す．
(1) $S(0)=\fbox{ト}$である．
(2) $f(x)$は$x=\fbox{ナ}$で極小値をとる．曲線$y=f(x)$上にあり，$x$の値$\fbox{ナ}$に対応する点を$\mathrm{P}$とする．$a$の値が変化するとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は曲線$y=\fbox{ニ} \ (x>0)$である．
(3) $S(t)=S(0)$を満たす正の実数$t$が存在するような$a$の値の範囲を不等式で表すと$\fbox{ヌ}$となる．以下，$a$の値はこの範囲にあるとする．$c$を$S(c)=S(0)$を満たす最大の正の実数とする．区間$0 \leqq t \leqq c$における$S(t)$の最大値，最小値をそれぞれ$M(a)$，$m(a)$とするとき，$M(a)+m(a)=\fbox{ネ}$となる．