慶應義塾大学
2012年 理工学部 第1問
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![次の各問いに答えよ．(1)3つの行列の積(xy)(\begin{array}{cc}2&a\\a&1\end{array})(\begin{array}{c}x\\y\end{array})の成分が任意の実数x,yに対し0以上となるような実数aの範囲を不等式で表すと[ア]となる．(2)∠Bが直角の直角三角形ABCの2辺AB,BCの長さをそれぞれ3,1とする．また，0＜x＜1を満たすxに対し線分BCを1:xに外分する点をDとする．いま，∠ CAD =2∠ BAC が成り立っているとすると，x=[イ]であり，△ACDの外接円の半径は[ウ]である．(3)関数f(x),g(x)が{\begin{array}{l}f(x)=xe^x+2x∫_0^2|g(t)|dt-1\\\\g(x)=x^2-x∫_0^1f(t)dt\end{array}.を満たすとき，∫_0^2|g(t)|dtの値は[エ]または[オ]である．求める過程も解答欄(3)に書きなさい．](./thumb/202/89/2012_1.png)
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次の各問いに答えよ．
(1) 3つの行列の積 \[ \left( x \quad y \right) \left( \begin{array}{cc} 2 & a \\ a & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \] の成分が任意の実数$x,\ y$に対し0以上となるような実数$a$の範囲を不等式で表すと\fbox{ア}となる．
(2) $\angle B$が直角の直角三角形ABCの2辺AB,\ BCの長さをそれぞれ$3,\ 1$とする．また，$0<x<1$を満たす$x$に対し線分BCを$1:x$に外分する点をDとする．いま，$\angle \text{CAD}=2 \angle\text{BAC}$が成り立っているとすると，$x=\fbox{イ}$であり，$\triangle$ACDの外接円の半径は\fbox{ウ}である．
(3) 関数$f(x),\ g(x)$が \[ \left\{ \begin{array}{l} f(x) = xe^x + 2x \displaystyle\int_0^2|g(t)|\, dt - 1 \\ \\ g(x) = x^2 -x \displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt \end{array} \right. \] を満たすとき，$\displaystyle\int_0^2 |g(t)|\, dt$の値は\fbox{エ}または\fbox{オ}である．求める過程も解答欄(3)に書きなさい．
(1) 3つの行列の積 \[ \left( x \quad y \right) \left( \begin{array}{cc} 2 & a \\ a & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \] の成分が任意の実数$x,\ y$に対し0以上となるような実数$a$の範囲を不等式で表すと\fbox{ア}となる．
(2) $\angle B$が直角の直角三角形ABCの2辺AB,\ BCの長さをそれぞれ$3,\ 1$とする．また，$0<x<1$を満たす$x$に対し線分BCを$1:x$に外分する点をDとする．いま，$\angle \text{CAD}=2 \angle\text{BAC}$が成り立っているとすると，$x=\fbox{イ}$であり，$\triangle$ACDの外接円の半径は\fbox{ウ}である．
(3) 関数$f(x),\ g(x)$が \[ \left\{ \begin{array}{l} f(x) = xe^x + 2x \displaystyle\int_0^2|g(t)|\, dt - 1 \\ \\ g(x) = x^2 -x \displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt \end{array} \right. \] を満たすとき，$\displaystyle\int_0^2 |g(t)|\, dt$の値は\fbox{エ}または\fbox{オ}である．求める過程も解答欄(3)に書きなさい．
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