$t$を実数の定数として，$x$の$3$次関数 \[ f(x) = \frac{1}{3}x^3-2^tx^2+(4^t-4^{-t})x \] を考える．$f(x)$は$x=\alpha$において極大値を，$x=\beta$において極小値をとるとする．
(1) $\alpha,\ \beta$を$t$のなるべく簡単な式で表せ．
(2) $\alpha,\ \beta$が$\alpha\beta=1$を満たすとき \[ t= \frac{1}{2} \left\{ \log_2 \left(\fbox{(a)}+\sqrt{\fbox{(b)}}\right)-\fbox{(c)} \right\} \] である．(a),\ (b),\ (c)にあてはまる$1$桁の自然数を求めよ．
(3) $\alpha,\ \beta$が$\beta-\alpha \geqq 12$を満たすときの$t$の値の範囲は \[ t \leqq - \fbox{(d)} \log_2 \fbox{(e)} -1 \] である．(d),\ (e)にあてはまる$1$桁の自然数を求めよ．