慶應義塾大学
2012年 経済学部 第3問
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![数列{a_n}は次の3つの条件\begin{array}{ll}(A)&a_1=1\(B)&a_{n+1}^2-6a_{n+1}a_n+8a_n^2=0(n=1,2,3,・・・)\(C)&a_{n+1}＞3a_n(n=1,2.3,・・・)\end{array}を満たしている．以下の文は{a_n}の一般項を推測する記述である．\条件(A)と，条件(B)においてn=[(31)]とおいた式から，a_2は2次方程式x^2-[(32)]x+[(33)]=0の解の1つである．この方程式の解のうち小さいほうは[(34)]，大きいほうは[(35)]である．これらの候補のうち条件(C)においてn=1とした式を満たすものを選ぶと，a_2=[(36)]である．同様に，a_3=[(37)][(38)],a_4=[(39)][(40)]となるので，一般項はa_n=[(41)]^{n-1}と推測される．](./thumb/202/94/2012_3.png)
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数列$\{a_n\}$は次の$3$つの条件
\[ \begin{array}{ll}
(\mathrm{A}) & a_1=1 \\
(\mathrm{B}) & a_{n+1}^2 - 6a_{n+1}a_n + 8a_n^2 = 0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\cdots) \\
(\mathrm{C}) & a_{n+1} > 3 a_n \quad (n=1,\ 2.\ 3,\cdots)
\end{array} \]
を満たしている．以下の文は$\{a_n\}$の一般項を推測する記述である． \\
条件$(\mathrm{A})$と，条件$(\mathrm{B})$において$n=\fbox{(31)}$とおいた式から，$a_2$は$2$次方程式
\[ x^2 - \fbox{(32)}x + \fbox{(33)} = 0 \]
の解の$1$つである．この方程式の解のうち小さいほうは\fbox{(34)}，大きいほうは\fbox{(35)}である．これらの候補のうち条件$(\mathrm{C})$において$n=1$とした式を満たすものを選ぶと，$a_2=\fbox{(36)}$である．同様に，$a_3=\fbox{(37)}\fbox{(38)},\ a_4=\fbox{(39)}\fbox{(40)}$となるので，一般項は$a_n=\fbox{(41)}^{n-1}$と推測される．
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