横浜国立大学
2010年 理系 第5問
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各項が正の実数である数列$\{a_n\}$が,$a_1=1$と関係式
\[ a_{n+1}-a_n=\sqrt{n} \left(1+\frac{1}{a_n+a_{n+1}} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたしている.次の問いに答えよ.
(1) $a_n \geqq \sqrt{n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ.
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \sqrt{k} \leqq \frac{2}{3}(n^{\frac{3}{2}}-1) \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を示せ.
(3) $\displaystyle a_n \leqq \frac{2}{3}n^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2}n -\frac{1}{6} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ.
(1) $a_n \geqq \sqrt{n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ.
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \sqrt{k} \leqq \frac{2}{3}(n^{\frac{3}{2}}-1) \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を示せ.
(3) $\displaystyle a_n \leqq \frac{2}{3}n^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2}n -\frac{1}{6} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ.
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