鳥取大学
2010年 医(医) 第4問
4
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$a,\ k$は定数であり,$0<k<1$とする.次の問いに答えよ.
(1) 方程式$x=a+k \sin x$はただ一つの実数解をもつことを示せ.
(2) 不等式$|\sin \theta| \leqq |\,\theta\,|$がすべての実数$\theta$に対して成立することを示せ.
(3) 不等式$|\sin \alpha-\sin \beta| \leqq |\alpha-\beta|$がすべての実数$\alpha,\ \beta$に対して成立することを示せ.
(4) 数列$\{x_n\}$を,$x_0=0,\ x_n=a+k \sin x_{n-1} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$によって定める.数列$\{x_n\}$は(1)の方程式$x=a+k \sin x$の解に収束することを示せ.
(1) 方程式$x=a+k \sin x$はただ一つの実数解をもつことを示せ.
(2) 不等式$|\sin \theta| \leqq |\,\theta\,|$がすべての実数$\theta$に対して成立することを示せ.
(3) 不等式$|\sin \alpha-\sin \beta| \leqq |\alpha-\beta|$がすべての実数$\alpha,\ \beta$に対して成立することを示せ.
(4) 数列$\{x_n\}$を,$x_0=0,\ x_n=a+k \sin x_{n-1} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$によって定める.数列$\{x_n\}$は(1)の方程式$x=a+k \sin x$の解に収束することを示せ.
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