東京理科大学
2015年 理(数理情報科・応用物理・応用化学) 第2問
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![各自然数nに対し,X_n,Y_n,V_n,W_nをX_n+Y_n√5=(2+√5)^{2n-1},V_n-W_n√5=(2-√5)^{2n-1}が成り立つような整数とする.次の問いに答えよ.√5が無理数であることを証明なしで使ってもよい.(1)X_2,Y_2,V_2,W_2の値を求めよ.(2)X_{n+1},Y_{n+1}をそれぞれX_nとY_nの式で表せ.(3)V_{n+1},W_{n+1}をそれぞれV_nとW_nの式で表せ.(4)X_n^2-5Y_n^2を計算せよ.(5)\lim_{n→∞}\frac{X_n}{Y_n}を計算せよ.](./thumb/269/255/2015_2.png)
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各自然数$n$に対し,$X_n,\ Y_n,\ V_n,\ W_n$を
\[ X_n+Y_n \sqrt{5}=(2+\sqrt{5})^{2n-1},\quad V_n-W_n \sqrt{5}=(2-\sqrt{5})^{2n-1} \]
が成り立つような整数とする.次の問いに答えよ.$\sqrt{5}$が無理数であることを証明なしで使ってもよい.
(1) $X_2,\ Y_2,\ V_2,\ W_2$の値を求めよ.
(2) $X_{n+1},\ Y_{n+1}$をそれぞれ$X_n$と$Y_n$の式で表せ.
(3) $V_{n+1},\ W_{n+1}$をそれぞれ$V_n$と$W_n$の式で表せ.
(4) $X_n^2-5Y_n^2$を計算せよ.
(5) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{X_n}{Y_n}$を計算せよ.
(1) $X_2,\ Y_2,\ V_2,\ W_2$の値を求めよ.
(2) $X_{n+1},\ Y_{n+1}$をそれぞれ$X_n$と$Y_n$の式で表せ.
(3) $V_{n+1},\ W_{n+1}$をそれぞれ$V_n$と$W_n$の式で表せ.
(4) $X_n^2-5Y_n^2$を計算せよ.
(5) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{X_n}{Y_n}$を計算せよ.
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