信州大学
2012年 理系 第5問
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行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は次の条件をみたすものとする.
\begin{eqnarray}
a+d=1,\ & & A^2-A-2E=O \nonumber \\
& & (\text{ただし,}E \text{は単位行列で,}O \text{は零行列である.}) \nonumber
\end{eqnarray}
このとき,次の問いに答えよ.
(1) 次の関係をみたす実数$x,\ y$は$x=y=0$に限ることを示せ. \[ xA+yE=O \]
(2) 自然数$n$に対し,$A^n$はある実数$x_n,\ y_n$を用いて,$A^n=x_n A+y_n E$の形で表せることを示し,数列$\{x_n-y_n\},\ \{2x_n+y_n\}$の一般項を求めよ.
(3) 自然数$n$に対し,$A^n=\left( \begin{array}{cc} p_n & q_n \\ r_n & s_n \end{array} \right)$とおく.$p_n+s_n$を求めよ.
(1) 次の関係をみたす実数$x,\ y$は$x=y=0$に限ることを示せ. \[ xA+yE=O \]
(2) 自然数$n$に対し,$A^n$はある実数$x_n,\ y_n$を用いて,$A^n=x_n A+y_n E$の形で表せることを示し,数列$\{x_n-y_n\},\ \{2x_n+y_n\}$の一般項を求めよ.
(3) 自然数$n$に対し,$A^n=\left( \begin{array}{cc} p_n & q_n \\ r_n & s_n \end{array} \right)$とおく.$p_n+s_n$を求めよ.
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