大阪薬科大学
2016年 薬学部 第3問
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次の問いに答えなさい.
点$\mathrm{O}$を原点とする$xy$座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 4)$と点$\mathrm{B}(5,\ 2)$,および直線$\ell$がある.
(1) $\ell$の方程式は$\displaystyle y=\frac{1}{2}(-x+1)$である.
(ⅰ) 点$\mathrm{P}$が$\ell$上の点であるとき,内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の値を求めよ.
(ⅱ) $\ell$上の$\mathrm{P}$に対し,$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2$のとり得る最小の値を求めよ.
(2) $a$を$1$以上の定数とする.$xy$座標平面上の点$\mathrm{Q}$が,線分$\mathrm{AQ}$の中点$\mathrm{M}$を用いて, \[ a|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|^2=4|\overrightarrow{\mathrm{OM}}|^2+4|\overrightarrow{\mathrm{BM}}|^2 \] を満たしながら動くとき,その$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とする.
(ⅰ) $C$が直線となるときの$a$の値を求めよ.
(ⅱ) $a=1$のとき,$C$上の$\mathrm{Q}$に対し,$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|^2$のとり得る最小の値を求めよ.
点$\mathrm{O}$を原点とする$xy$座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 4)$と点$\mathrm{B}(5,\ 2)$,および直線$\ell$がある.
(1) $\ell$の方程式は$\displaystyle y=\frac{1}{2}(-x+1)$である.
(ⅰ) 点$\mathrm{P}$が$\ell$上の点であるとき,内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の値を求めよ.
(ⅱ) $\ell$上の$\mathrm{P}$に対し,$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2$のとり得る最小の値を求めよ.
(2) $a$を$1$以上の定数とする.$xy$座標平面上の点$\mathrm{Q}$が,線分$\mathrm{AQ}$の中点$\mathrm{M}$を用いて, \[ a|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|^2=4|\overrightarrow{\mathrm{OM}}|^2+4|\overrightarrow{\mathrm{BM}}|^2 \] を満たしながら動くとき,その$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とする.
(ⅰ) $C$が直線となるときの$a$の値を求めよ.
(ⅱ) $a=1$のとき,$C$上の$\mathrm{Q}$に対し,$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|^2$のとり得る最小の値を求めよ.
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