大阪薬科大学
2012年 薬学部 第2問
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次の問いに答えなさい.多項式$P(x)={(1+x)}^{24}$を考える.
(1) $P(x)$の$x^2$の係数は$\fbox{$\mathrm{E}$}$である.
(2) $\comb{24}{0}-\comb{24}{1}+\comb{24}{2}-\comb{24}{3}+\cdots +\comb{24}{22}-\comb{24}{23}+\comb{24}{24}=\fbox{$\mathrm{F}$}$である.
(3) $\displaystyle Q(x)=\frac{1}{2} \left( P(x)+P(-x) \right)$とする.このとき,$Q(x)$は$P(x)$の
$\big\{$ (ア)奇数次数の項からなる. \ \ (イ)偶数次数の項からなる. \ \ (ウ)奇数次数と偶数次数の項からなる. $\bigr\}$
(ア),(イ),(ウ)の中から最も適切なものを選び,その記号を$\fbox{$\mathrm{G}$}$に記しなさい.
(4) 方程式$x^3=1$の$3$つの解を$1,\ \alpha,\ \beta$とする.
(ⅰ) ${(1-\alpha)}^6=\fbox{$\mathrm{H}$}$である.
(ⅱ) $\alpha^2-\beta=\fbox{$\mathrm{I}$}$である.
(ⅲ) $\displaystyle \sum_{k=0}^{12} \comb{24}{2k} \beta^k$の値を$\fbox{い}$で求めなさい.
なお,必要ならば$3^{12}=531441$を使ってよい.
(1) $P(x)$の$x^2$の係数は$\fbox{$\mathrm{E}$}$である.
(2) $\comb{24}{0}-\comb{24}{1}+\comb{24}{2}-\comb{24}{3}+\cdots +\comb{24}{22}-\comb{24}{23}+\comb{24}{24}=\fbox{$\mathrm{F}$}$である.
(3) $\displaystyle Q(x)=\frac{1}{2} \left( P(x)+P(-x) \right)$とする.このとき,$Q(x)$は$P(x)$の
$\big\{$ (ア)奇数次数の項からなる. \ \ (イ)偶数次数の項からなる. \ \ (ウ)奇数次数と偶数次数の項からなる. $\bigr\}$
(ア),(イ),(ウ)の中から最も適切なものを選び,その記号を$\fbox{$\mathrm{G}$}$に記しなさい.
(4) 方程式$x^3=1$の$3$つの解を$1,\ \alpha,\ \beta$とする.
(ⅰ) ${(1-\alpha)}^6=\fbox{$\mathrm{H}$}$である.
(ⅱ) $\alpha^2-\beta=\fbox{$\mathrm{I}$}$である.
(ⅲ) $\displaystyle \sum_{k=0}^{12} \comb{24}{2k} \beta^k$の値を$\fbox{い}$で求めなさい.
なお,必要ならば$3^{12}=531441$を使ってよい.
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コメント(1件)
2015-01-26 09:31:28
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