聖マリアンナ医科大学
2012年 医学部 第1問
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空間内に,同じ平面上にない$4$つの点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$がある.$\triangle \mathrm{OAB}$,$\triangle \mathrm{OAC}$の重心をそれぞれ$\mathrm{G}$,$\mathrm{G}^\prime$とし,線分$\mathrm{OC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{P}$,線分$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする.ただし,$t$は$0<t<1$なる定数である.また,$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく.以下の$\fbox{$1$}$から$\fbox{$10$}$に答えなさい.
このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\fbox{$1$} \overrightarrow{a}+\fbox{$2$} \overrightarrow{b}+\fbox{$3$} \overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\fbox{$4$} \overrightarrow{a}+\fbox{$5$} \overrightarrow{b}+\fbox{$6$} \overrightarrow{c}$である.また線分$\mathrm{GG}^\prime$と線分$\mathrm{PQ}$が交わるとき$t=\fbox{$7$}$であり,線分$\mathrm{GG}^\prime$と線分$\mathrm{PQ}$の交点$\mathrm{R}$は線分$\mathrm{PQ}$を$\fbox{$8$}:\fbox{$9$}$に内分する.さらに,$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\frac{2}{5}$,$\displaystyle \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\frac{4}{15}$で,線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{OP}$が直交するならば,$|\overrightarrow{c}|=\fbox{$10$}$である.
なお,この空間の任意のベクトル$\overrightarrow{m}$は,実数$u,\ v,\ w$を用いて, \[ \overrightarrow{m}=u \overrightarrow{a}+v \overrightarrow{b}+w \overrightarrow{c} \] の形に表すことができ,しかも,表し方はただ$1$通りである.
このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\fbox{$1$} \overrightarrow{a}+\fbox{$2$} \overrightarrow{b}+\fbox{$3$} \overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\fbox{$4$} \overrightarrow{a}+\fbox{$5$} \overrightarrow{b}+\fbox{$6$} \overrightarrow{c}$である.また線分$\mathrm{GG}^\prime$と線分$\mathrm{PQ}$が交わるとき$t=\fbox{$7$}$であり,線分$\mathrm{GG}^\prime$と線分$\mathrm{PQ}$の交点$\mathrm{R}$は線分$\mathrm{PQ}$を$\fbox{$8$}:\fbox{$9$}$に内分する.さらに,$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\frac{2}{5}$,$\displaystyle \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\frac{4}{15}$で,線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{OP}$が直交するならば,$|\overrightarrow{c}|=\fbox{$10$}$である.
なお,この空間の任意のベクトル$\overrightarrow{m}$は,実数$u,\ v,\ w$を用いて, \[ \overrightarrow{m}=u \overrightarrow{a}+v \overrightarrow{b}+w \overrightarrow{c} \] の形に表すことができ,しかも,表し方はただ$1$通りである.
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