高知工科大学
2010年 理系 第3問
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![関数列f_n(x)=x^{n-1},g_n(x)=Σ_{k=1}^n(-1)^{k-1}f_k(x)(n=1,2,・・・)について,次の各問に答えよ.(1)F_n(x)=∫_0^xf_n(t)dtを求めよ.(2){g_n(x)}が数列として収束するための実数xの条件を求めよ.また,xがこの条件を満たすときg(x)=\lim_{n→∞}g_n(x)とおく.∫_0^xg(t)dtを求めよ.(3)(1)のF_n(x)について-F_{n+1}(1)≦∫_0^1\frac{(-1)^nf_{n+1}(t)}{1+t}dt≦F_{n+1}(1)が成り立つことを証明せよ.(4)無限級数1-1/2+1/3-1/4+・・・+(-1)^{n-1}1/n+・・・の収束,発散について調べ,収束すればその和を求めよ.](./thumb/676/222/2010_3.png)
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関数列
\[ f_n(x)=x^{n-1},\quad g_n(x)=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}f_k(x) \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
について,次の各問に答えよ.
(1) $\displaystyle F_n(x) = \int_0^x f_n(t) \, dt$を求めよ.
(2) $\{g_n(x)\}$が数列として収束するための実数$x$の条件を求めよ.また,$x$がこの条件を満たすとき$\displaystyle g(x)=\lim_{n \to \infty}g_n(x)$とおく. \[ \int_0^x g(t) \, dt \] を求めよ.
(3) (1)の$F_n(x)$について \[ -F_{n+1}(1) \leqq \int_0^1 \frac{(-1)^n f_{n+1}(t)}{1+t} \, dt \leqq F_{n+1}(1) \] が成り立つことを証明せよ.
(4) 無限級数 \[ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\cdots \] の収束,発散について調べ,収束すればその和を求めよ.
(1) $\displaystyle F_n(x) = \int_0^x f_n(t) \, dt$を求めよ.
(2) $\{g_n(x)\}$が数列として収束するための実数$x$の条件を求めよ.また,$x$がこの条件を満たすとき$\displaystyle g(x)=\lim_{n \to \infty}g_n(x)$とおく. \[ \int_0^x g(t) \, dt \] を求めよ.
(3) (1)の$F_n(x)$について \[ -F_{n+1}(1) \leqq \int_0^1 \frac{(-1)^n f_{n+1}(t)}{1+t} \, dt \leqq F_{n+1}(1) \] が成り立つことを証明せよ.
(4) 無限級数 \[ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\cdots \] の収束,発散について調べ,収束すればその和を求めよ.
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