北九州市立大学
2015年 経済 第2問
2
2
$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$と$3$次関数$f(x)=x^3-6x^2+15x$と$1$次関数$g(x)=3ax$を考える.ただし,$a$は定数である.また,関数$y=f(x)$のグラフで$x \geqq 0$を満たす部分を曲線$C$とする.曲線$y=f(x)$上の点を$\mathrm{P}(p,\ f(p))$とし,点$\mathrm{P}$における曲線$y=f(x)$の接線を$\ell$とする.ただし,$p \geqq 0$を満たす.以下の問題に答えよ.
(1) 関数$f(x)$が単調に増加することを示せ.
(2) 直線$\ell$の傾きが最小となるとき,$p$の値と直線$\ell$の式を求めよ.
(3) 関数$y=g(x)$のグラフが曲線$C$と異なる$3$点で交わるとき,$a$の値の範囲を求めよ.
(4) $a$の値は$(3)$で求めた範囲を満たすとする.$x \geqq 0$の範囲で関数$f(x)-g(x)$が最小となるとき,$x$を$a$を用いて表せ.
(5) 点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$と一致する場合に,接線$\ell$が曲線$C$と原点以外で交わる点を$\mathrm{Q}$とおき,曲線$C$上において原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$の間に点$\mathrm{R}$をとる.$\triangle \mathrm{ORQ}$の面積が最大となるとき,点$\mathrm{R}$の座標と$\triangle \mathrm{ORQ}$の面積を求めよ.
(1) 関数$f(x)$が単調に増加することを示せ.
(2) 直線$\ell$の傾きが最小となるとき,$p$の値と直線$\ell$の式を求めよ.
(3) 関数$y=g(x)$のグラフが曲線$C$と異なる$3$点で交わるとき,$a$の値の範囲を求めよ.
(4) $a$の値は$(3)$で求めた範囲を満たすとする.$x \geqq 0$の範囲で関数$f(x)-g(x)$が最小となるとき,$x$を$a$を用いて表せ.
(5) 点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$と一致する場合に,接線$\ell$が曲線$C$と原点以外で交わる点を$\mathrm{Q}$とおき,曲線$C$上において原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$の間に点$\mathrm{R}$をとる.$\triangle \mathrm{ORQ}$の面積が最大となるとき,点$\mathrm{R}$の座標と$\triangle \mathrm{ORQ}$の面積を求めよ.
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。