北九州市立大学
2014年 経済 第2問
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$2$つの曲線$C_1:f(x)=x^3-x$と$C_2:g(x)=x^3+x^2+ax$について考える.ただし,$a$は定数である.曲線$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{A}(\frac{1}{2},\ -\frac{3}{8})$における接線を$\ell$とし,点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{B}(p,\ q)$において曲線$C_1$と直線$\ell$は交わっている.以下の問題に答えよ.
(1) 曲線$C_1$を原点に関して対称移動したグラフは$C_1$自身であることを証明せよ.
(2) 直線$\ell$の方程式と$p,\ q$の値を求めよ.
(3) 関数$f(x)$の$\displaystyle p \leqq x \leqq \frac{1}{2}$における最大値と最小値を求めよ.
(4) 関数$g(x)$が極値を持たないための必要十分条件を導関数$g^\prime(x)$を用いて表せ.また,このときの定数$a$の値の範囲を求めよ.
(5) $a=1$のとき,$2$つの曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ.
(1) 曲線$C_1$を原点に関して対称移動したグラフは$C_1$自身であることを証明せよ.
(2) 直線$\ell$の方程式と$p,\ q$の値を求めよ.
(3) 関数$f(x)$の$\displaystyle p \leqq x \leqq \frac{1}{2}$における最大値と最小値を求めよ.
(4) 関数$g(x)$が極値を持たないための必要十分条件を導関数$g^\prime(x)$を用いて表せ.また,このときの定数$a$の値の範囲を求めよ.
(5) $a=1$のとき,$2$つの曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ.
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