福岡女子大学
2014年 国際文理(環境科学) 第4問
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座標平面上に,中心が原点$\mathrm{O}$,半径が$1$の円と原点を通り,傾きが正の直線$\ell$がある.点$\mathrm{A}^\prime(p,\ q)$と点$\mathrm{A}(1,\ 0)$は$\ell$に関して対称であり,点$\mathrm{B}^\prime(p^\prime,\ q^\prime)$と点$\mathrm{B}(0,\ 1)$は$\ell$に関して対称である.$\ell$に関して対称な$1$次変換の表す行列$T$は,
\[ T=\left( \begin{array}{cc}
p & p^\prime \\
q & q^\prime
\end{array} \right) \]
と表せる.下図を参考にして,$p>p^\prime$の場合について,以下の問に答えなさい.なお,$\mathrm{P}=\mathrm{P}(p,\ 0)$,$\mathrm{P}^\prime=\mathrm{P}^\prime(p^\prime,\ 0)$である.
(1) $\theta=\angle \mathrm{AA}^\prime \mathrm{P}$とおく.$\angle \mathrm{A}^\prime \mathrm{OP}=2\theta$,$\angle \mathrm{OB}^\prime \mathrm{P}^\prime=2\theta$となることを示しなさい.
(2) $q^\prime=-p,\ p^\prime=q$となることを示しなさい.
(3) $T^2=E$(ただし,$E$は単位行列)となることを示しなさい. \imgc{683_3132_2014_2}
(1) $\theta=\angle \mathrm{AA}^\prime \mathrm{P}$とおく.$\angle \mathrm{A}^\prime \mathrm{OP}=2\theta$,$\angle \mathrm{OB}^\prime \mathrm{P}^\prime=2\theta$となることを示しなさい.
(2) $q^\prime=-p,\ p^\prime=q$となることを示しなさい.
(3) $T^2=E$(ただし,$E$は単位行列)となることを示しなさい. \imgc{683_3132_2014_2}
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