防衛大学校
2012年 理系 第2問
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平面上のベクトル$\overrightarrow{a_n}$,$\overrightarrow{b_n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を,$\overrightarrow{a_1}=(4,\ 0)$,$\overrightarrow{b_1}=(0,\ 4)$と関係式
\[ \overrightarrow{a_{n+1}}=\frac{3 \overrightarrow{a_n}+\overrightarrow{b_n}}{4},\quad \overrightarrow{b_{n+1}}=\frac{\overrightarrow{a_n}-3 \overrightarrow{b_n}}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める.さらに原点を$\mathrm{O}$とし,$\overrightarrow{a_n}=\overrightarrow{\mathrm{OA}_n}$,$\overrightarrow{b_n}=\overrightarrow{\mathrm{OB}_n}$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) $\overrightarrow{a_2},\ \overrightarrow{b_2}$を求めよ.
(2) $\overrightarrow{a_{n+2}}$を$\overrightarrow{a_n}$で表せ.
(3) $\triangle \mathrm{OA}_n \mathrm{B}_n$の面積を$S_n$とするとき,$\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}$の値を求めよ.
(4) $S_1+S_2+\cdots +S_n>21$をみたす最小の自然数$n$を求めよ.ただし,$\log_{10}2=0.3010$とする.
(1) $\overrightarrow{a_2},\ \overrightarrow{b_2}$を求めよ.
(2) $\overrightarrow{a_{n+2}}$を$\overrightarrow{a_n}$で表せ.
(3) $\triangle \mathrm{OA}_n \mathrm{B}_n$の面積を$S_n$とするとき,$\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}$の値を求めよ.
(4) $S_1+S_2+\cdots +S_n>21$をみたす最小の自然数$n$を求めよ.ただし,$\log_{10}2=0.3010$とする.
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