次の問いに答えよ．
(1) 整式$P(x)$は実数を係数にもつ$x$の$3$次式であり，$x^3$の係数は$1$である．$P(x)$を$x-7$で割ると$8$余り，$x-9$で割ると$12$余る．方程式$P(x)=0$は$a+bi$を解に持つ．$a,\ b$は$1$桁の自然数であり，$i$は虚数単位とする．
ただし$a,\ b$の組み合わせは，$2a+b$が連続する$2$つの整数の積の値と等しくなるもののうち，$a-b$が最大となるものとする．このとき，
(ⅰ) 整式$P(x)$を$(x-7)(x-9)$で割ると，余りは$\fbox{$1$}x-\fbox{$2$}$である．
(ⅱ) $a=\fbox{$3$}$，$b=\fbox{$4$}$であり，方程式$P(x)=0$の実数解は$\fbox{$5$}$である．
(2) $xy$平面上に曲線$C_1:y=-x^2-x+8$がある．$C_1$上の動点$\mathrm{A}$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した点$\mathrm{B}$の軌跡を$C_2$とする．
$C_1$と$C_2$の$2$つの交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta \ \ (\alpha<\beta)$とし，また，$C_1,\ C_2$と直線$x=k$との交点をそれぞれ$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．ただし，$k$は$\alpha<k<\beta$を満たす実数とする．このとき，
(ⅰ) $C_2$の方程式は$y=x^2-\fbox{$6$}x+\fbox{$7$}$である．
(ⅱ) 三角形$\mathrm{QRS}$の面積は$\displaystyle k=\frac{\fbox{$8$}}{\fbox{$9$}}$で最大となる．
(3) $xy$平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$と，$y$軸の正の部分を始線として点$\mathrm{O}$を中心に回転する$2$つの動径$L_1,\ L_2$がある．円$C$と$L_1,\ L_2$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．動径$L_1,\ L_2$の表す角をそれぞれ$\theta_1,\ \theta_2$とおき，$\theta_1=2\pi t,\ \theta_2=-\pi t$とする．ただし$t$は，$t \geqq 0$を満たす実数である．このとき，
(ⅰ) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致する$t$のうち，$t=0$を除く最小の$t$の値は$\displaystyle \frac{\fbox{$10$}}{\fbox{$11$}}$である．
(ⅱ) 点$\mathrm{P}$の$y$座標と点$\mathrm{Q}$の$y$座標の和の最小値は$\displaystyle \frac{\fbox{$12$}\fbox{$13$}}{\fbox{$14$}}$である．
(4) 直角三角形$\mathrm{AOB}$（$\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$）に内接する半径$r$の円の中心を$\mathrm{P}$とする．辺$\mathrm{AB}$と円の接点を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{AQ}$の長さを$a$，線分$\mathrm{BQ}$の長さを$b$とする．三角形$\mathrm{AOB}$に対して，自然数$l,\ m,\ n \ \ (n<m<l)$は，$l \overrightarrow{\mathrm{OP}}+m \overrightarrow{\mathrm{AP}}+n \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす．このとき，
(ⅰ) 三角形$\mathrm{AOB}$の$3$辺の長さの合計は$\fbox{$15$}a+\fbox{$16$}b+\fbox{$17$}r$である．
(ⅱ) $l=17$のとき，$m=\fbox{$18$}\fbox{$19$}$，$n=\fbox{$20$}$であり，$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{\fbox{$21$}}{\fbox{$22$}\fbox{$23$}}$である．