大阪府立大学
2010年 理系 第2問
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![空間の3点A,B,Cは同一直線上にはないものとし,原点をOとする.空間の点Pの位置ベクトルベクトルOPが,x+y+z=1を満たす正の実数x,y,zを用いて,ベクトルOP=xベクトルOA+yベクトルOB+zベクトルOCと表されているとする.(1)直線APと直線BCは交わり,その交点をDとすれば,DはBCをz:yに内分し,PはADを(1-x):xに内分することを示せ.(2)△PAB,△PBCの面積をそれぞれS_1,S_2とすれば,\frac{S_1}{z}=\frac{S_2}{x}が成り立つことを示せ.](./thumb/507/2706/2010_2.png)
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空間の3点A,B,Cは同一直線上にはないものとし,原点をOとする.空間の点Pの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が,$x+y+z=1$を満たす正の実数$x,\ y,\ z$を用いて,
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=x \overrightarrow{\mathrm{OA}}+y \overrightarrow{\mathrm{OB}} +z\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
と表されているとする.
(1) 直線APと直線BCは交わり,その交点をDとすれば,DはBCを$z:y$に内分し,PはADを$(1-x):x$に内分することを示せ.
(2) $\triangle$PAB,$\triangle$PBCの面積をそれぞれ$S_1,\ S_2$とすれば, \[ \frac{S_1}{z}=\frac{S_2}{x} \] が成り立つことを示せ.
(1) 直線APと直線BCは交わり,その交点をDとすれば,DはBCを$z:y$に内分し,PはADを$(1-x):x$に内分することを示せ.
(2) $\triangle$PAB,$\triangle$PBCの面積をそれぞれ$S_1,\ S_2$とすれば, \[ \frac{S_1}{z}=\frac{S_2}{x} \] が成り立つことを示せ.
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