防衛大学校
2010年 理系 第5問
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![実数xに対して,t=e^x+e^{-x}とするとき,次の問に答えよ.(1)tのとり得る値の最小値mを求めよ.(2)e^{2x}+e^{-2x}をtの式で表せ.(3)t=e^x+e^{-x}とおいて置換積分することにより,定積分I=∫_{log2}^{log4}\frac{2e^x-2e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+1}dxを求めよ.(4)定数aに対して,∫_{a}^{2a}\frac{2e^x-2e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+1}dx=log3/2となるとき,e^a+e^{-a}の値を求めよ.(aの値は求めなくてよい.)](./thumb/334/2479/2010_5.png)
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実数$x$に対して,$t=e^x+e^{-x}$とするとき,次の問に答えよ.
(1) $t$のとり得る値の最小値$m$を求めよ.
(2) $e^{2x}+e^{-2x}$を$t$の式で表せ.
(3) $t=e^x+e^{-x}$とおいて置換積分することにより,定積分$\displaystyle I=\int_{\log 2}^{\log 4}\frac{2e^x-2e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+1} \, dx$を求めよ.
(4) 定数$a$に対して,$\displaystyle \int_{a}^{2a}\frac{2e^x-2e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+1} \, dx=\log \frac{3}{2}$となるとき,$e^a+e^{-a}$の値を求めよ.($a$の値は求めなくてよい.)
(1) $t$のとり得る値の最小値$m$を求めよ.
(2) $e^{2x}+e^{-2x}$を$t$の式で表せ.
(3) $t=e^x+e^{-x}$とおいて置換積分することにより,定積分$\displaystyle I=\int_{\log 2}^{\log 4}\frac{2e^x-2e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+1} \, dx$を求めよ.
(4) 定数$a$に対して,$\displaystyle \int_{a}^{2a}\frac{2e^x-2e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+1} \, dx=\log \frac{3}{2}$となるとき,$e^a+e^{-a}$の値を求めよ.($a$の値は求めなくてよい.)
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