北海道大学
2015年 理系 第5問
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![nは自然数,aはa>3/2をみたす実数とし,実数xの関数f(x)=∫_0^x(x-θ)(asin^{n+1}θ-sin^{n-1}θ)dθを考える.ただし,n=1のときはsin^{n-1}θ=1とする.(1)∫_0^{π/2}sin^{n+1}θdθ=\frac{n}{n+1}∫_0^{π/2}sin^{n-1}θdθを示せ.(2)f´(π/2)=0をみたすnとaの値を求めよ.(3)(2)で求めたnとaに対して,f(π/2)を求めよ.](./thumb/5/941/2015_5.png)
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$n$は自然数,$a$は$\displaystyle a>\frac{3}{2}$をみたす実数とし,実数$x$の関数
\[ f(x)=\int_0^x (x-\theta)(a \sin^{n+1}\theta-\sin^{n-1}\theta) \, d\theta \]
を考える.ただし,$n=1$のときは$\sin^{n-1}\theta=1$とする.
(1) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1} \theta \, d\theta=\frac{n}{n+1}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta \, d\theta$を示せ.
(2) $\displaystyle f^\prime \left( \frac{\pi}{2} \right)=0$をみたす$n$と$a$の値を求めよ.
(3) $(2)$で求めた$n$と$a$に対して,$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ.
(1) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1} \theta \, d\theta=\frac{n}{n+1}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta \, d\theta$を示せ.
(2) $\displaystyle f^\prime \left( \frac{\pi}{2} \right)=0$をみたす$n$と$a$の値を求めよ.
(3) $(2)$で求めた$n$と$a$に対して,$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ.
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