大阪府立大学
2011年 工学域(中期) 第3問
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![座標平面内において,楕円x^2+\frac{y^2}{3}=1のx≧0,y≧0の部分の曲線をCとする.x_0>0,y_0>0とし,曲線C上に点P(x_0,y_0)をとり,点Pにおける曲線Cの法線をℓとする.このとき,次の問いに答えよ.(1)直線ℓとx軸との交点を(x_1,0)とするとき,x_1をx_0,y_0を用いて表せ.(2)x_0=cosθ,y_0=√3sinθと表す.このとき,曲線Cと直線ℓおよびx軸とで囲まれた部分の面積S(θ)をθを用いて表せ.ただし,0<θ<π/2とする.(3)θが0<θ<π/2の範囲を動くとき,(2)で求めた面積S(θ)の最大値を求めよ.](./thumb/507/2710/2011_3.png)
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座標平面内において,楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{3}=1$の$x \geqq 0,\ y \geqq 0$の部分の曲線を$C$とする.$x_0>0,\ y_0>0$とし,曲線$C$上に点P$(x_0,\ y_0)$をとり,点Pにおける曲線$C$の法線を$\ell$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 直線$\ell$と$x$軸との交点を$(x_1,\ 0)$とするとき,$x_1$を$x_0,\ y_0$を用いて表せ.
(2) $x_0=\cos \theta,\ y_0=\sqrt{3}\sin \theta$と表す.このとき,曲線$C$と直線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分の面積$S(\theta)$を$\theta$を用いて表せ.ただし,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.
(3) $\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき,(2)で求めた面積$S(\theta)$の最大値を求めよ.
(1) 直線$\ell$と$x$軸との交点を$(x_1,\ 0)$とするとき,$x_1$を$x_0,\ y_0$を用いて表せ.
(2) $x_0=\cos \theta,\ y_0=\sqrt{3}\sin \theta$と表す.このとき,曲線$C$と直線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分の面積$S(\theta)$を$\theta$を用いて表せ.ただし,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.
(3) $\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき,(2)で求めた面積$S(\theta)$の最大値を求めよ.
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